Spacetime Metric — Season 1 — 02-special-relativity-and-four-vectors Transcript (fr) — translated from the English narration; the video is narrated in English. Deux personnes. Deux chronomètres. Deux règles. L'une se tient sur un quai. L'autre passe à bord d'un train. Toutes deux observent le même événement — un flash qui se déclenche, quelque part entre elles — et toutes deux notent ce qu'elles ont mesuré. Combien de temps a duré le flash. À quelle distance il s'est produit. À quelle vitesse sa lumière s'est déplacée. Quand elles comparent leurs notes ensuite, elles ne sont pas d'accord. Celle qui est sur le quai note une certaine durée ; celle qui est dans le train note une durée différente. Celle qui est sur le quai note une certaine distance ; celle qui est dans le train note une distance différente. Elles sont honnêtes. Leurs chronomètres sont étalonnés. Leurs règles sont exactes. Et elles sont en désaccord. Pendant environ deux cent cinquante ans, la physique a traité ce désaccord comme un problème de mesure. Quelqu'un devait avoir tort. Le travail du théoricien était de trouver lequel. En 1905, un employé de bureau des brevets de vingt-six ans, à Berne, en Suisse, a publié un article qui disait autre chose. Il a dit : aucun des deux n'a tort. Tous deux mesurent honnêtement. S'ils ne sont pas d'accord, c'est qu'ils mesurent deux choses différentes. Et sous ce désaccord, il y a quelque chose de plus profond — que ni l'un ni l'autre ne mesurait directement — et sur quoi tous deux, en faisant l'algèbre avec soin, tomberaient exactement d'accord. Voici le cours deux. Cette chose plus profonde s'appelle l'intervalle d'espace-temps. La géométrie qui les met d'accord s'appelle l'espace de Minkowski. Et la comptabilité qui permet d'écrire n'importe quelle grandeur physique d'une façon que l'observateur du quai et celui du train accepteront tous deux — cette comptabilité s'appelle le quadrivecteur. À la fin de ce cours, vous serez capable de lire tout cela. Au cours précédent, nous avons bâti un seul objet. Une métrique. La règle qui convertit des pas de coordonnées infiniment petits en une distance physique au carré. Sur un plan plat, nous l'avons écrite ds^2 = dx^2 + dy^2. Sur une sphère, nous l'avons écrite ds^2 = dtheta^2 + sin^2theta dphi^2. Dans sa forme générale complète, nous l'avons écrite ds^2 = g{munu} dx^mu dx^nu, où g{munu} est un tableau de nombres qui dépend de l'endroit où vous êtes. Chaque exemple du cours un était une métrique sur l'espace. La feuille plane. La surface d'une sphère. Une parcelle de surface bidimensionnelle ondulante dérivant dans l'espace. Vous pouvez étendre n'importe lequel de ces exemples à trois dimensions d'espace sans peine — la comptabilité s'allonge, voilà tout. Mais le cours que vous écoutez maintenant porte sur l'extension suivante. Pas de deux dimensions d'espace à trois. De l'espace à l'espace-temps. D'une métrique sur laquelle deux observateurs immobiles dans la même pièce s'accorderaient, à une métrique sur laquelle deux observateurs se déplaçant à des vitesses différentes s'accorderont aussi. Cette seconde extension est plus dure qu'elle n'en a l'air. Plus dure parce qu'à première vue, le temps et l'espace n'ont pas l'air de choses qu'on puisse mettre dans la même métrique. Le temps se mesure en secondes. L'espace se mesure en mètres. Un chronomètre n'est pas une règle. Ce sont, semble-t-il, des grandeurs de nature différente. Et avant 1905, on les traitait comme des grandeurs de nature différente. Le saut de 1905 a été de les mettre dans le même diagramme. D'affirmer qu'il existe un seul objet, à quatre dimensions, qui contient les deux, et que la règle pour y mesurer la distance est ce sur quoi les observateurs physiques s'accordent réellement. Le désaccord sur le quai vient de ce que l'observateur du quai et celui du train projettent cet objet à quatre dimensions sur leur propre découpage privé en trois plus un — trois d'espace, un de temps — et que leurs découpages sont inclinés l'un par rapport à l'autre. L'objet à quatre dimensions au-dessous est le même. C'est le découpage qui change. Ce cours construit cet objet à quatre dimensions. Puis il construit la comptabilité dans laquelle vous écrivez les grandeurs physiques, pour qu'elles vivent dans l'objet à quatre dimensions plutôt que dans le découpage d'un observateur particulier. Puis il vous tend la poignée du cours suivant : le tenseur énergie-impulsion. Cet objet siégera à droite des équations du champ d'Einstein au cours 3, et c'est à lui que la géométrie répond. Mais avant tout cela — il faut parler de la raison pour laquelle la règle d'addition des vitesses de tous les jours, celle que vous utilisez depuis le collège, doit céder. Voici la règle avec laquelle vous avez grandi. Vous êtes dans un train, à quarante miles à l'heure. Vous marchez vers l'avant, à l'intérieur du train, à trois miles à l'heure. À quelle vitesse vous déplacez-vous par rapport au quai ? Quarante-trois. On additionne les vitesses. Même idée : une balle de baseball lancée vers l'avant à quatre-vingt-dix miles à l'heure depuis une voiture qui roule à trente — la balle fait cent vingt par rapport à la route. Cette règle a un nom. C'est l'addition galiléenne des vitesses, d'après Galilée, qui a énoncé le principe de relativité sous-jacent en 1632 dans son Dialogue sur les deux grands systèmes du monde : les lois de la mécanique sont les mêmes dans tout référentiel inertiel, de sorte qu'un marin sous le pont d'un navire qui glisse ne peut, par aucune expérience mécanique, dire si le navire avance ou est au repos. Si vous acceptez ce principe, et si vous acceptez la notion ordinaire de temps universel — la même heure pour tout le monde, quel que soit son mouvement — alors l'addition des vitesses en découle. Votre vitesse par rapport au quai est votre vitesse par rapport au train, plus la vitesse du train par rapport au quai. Terminé. La règle marche. Elle marche pour les trains. Elle marche pour les balles lancées. Elle marche pour les voitures, les vélos et la marche à pied. Elle marche pour tout ce que vit un être humain, jusqu'à la vitesse d'un avion de chasse, jusqu'à celle d'une balle de fusil, jusqu'à celle d'un missile hypersonique. C'est une règle empiriquement excellente sur toute la gamme des vitesses qu'on avait mesurées avec soin, pendant deux cent cinquante ans après Galilée. Et puis, dans la seconde moitié du dix-neuvième siècle, quelqu'un s'est mis à mesurer la lumière. Voici le problème. Dans les années 1860, James Clerk Maxwell avait écrit un jeu de quatre équations — ce qu'on appelle aujourd'hui les équations de Maxwell — qui décrivent la propagation des champs électriques et magnétiques. De ces équations tombe un nombre précis. Une vitesse. La vitesse à laquelle une onde électromagnétique traverse l'espace vide. Ce nombre vaut environ trois cent mille kilomètres par seconde. On l'appelle c. Et les équations de Maxwell ne disent pas « c par rapport à qui ». Le nombre est là, tout simplement, inscrit dans la structure de l'électromagnétisme. C'est un problème pour l'addition galiléenne. Car si la lumière va à c, et que vous avancez vers une lampe à la moitié de c, alors selon la règle ordinaire la lumière devrait vous atteindre à une fois et demie c. Et si vous vous éloignez de la même lampe à la moitié de c, elle devrait arriver à un demi c. Ce sont deux réponses différentes, selon votre mouvement. Or les équations de Maxwell donnent une réponse. La même. Donc, ou bien les équations de Maxwell ne sont vraies que dans un référentiel spécial — celui d'un milieu hypothétique, que les physiciens de la fin du dix-neuvième siècle appelaient l'éther luminifère — ou bien l'addition galiléenne se trompe sur la lumière. En 1887, dans un sous-sol du campus de ce qui s'appelait alors la Case School of Applied Science, à Cleveland, dans l'Ohio, deux expérimentateurs — Albert Michelson et Edward Morley — ont construit un appareil assez précis pour trancher. Ils ont séparé un faisceau de lumière en deux trajets perpendiculaires, les ont renvoyés sur des miroirs, les ont recombinés, et ont cherché la figure d'interférence. Comme la Terre tourne autour du Soleil à environ trente kilomètres par seconde, l'appareil traverse l'éther supposé dans des directions différentes selon la période de l'année. Si l'éther existait et que l'addition galiléenne était juste, la vitesse de la lumière le long du mouvement de l'appareil devrait différer de celle perpendiculaire, et la figure d'interférence devrait se décaler au fil de l'année. La figure ne s'est pas décalée. À la précision de l'appareil — qui était très bonne — la vitesse de la lumière sortait la même dans toutes les directions, à toute période de l'année, quel que soit le mouvement de la Terre. L'expérience a été affinée et répétée pendant des décennies. Le résultat nul a tenu. Vous voilà donc devant un choix, en physicien de 1900. Vous pouvez garder l'addition galiléenne des vitesses et le temps universel, et essayer de rafistoler les équations de Maxwell — ce que plusieurs très bons physiciens, dont Lorentz et Poincaré, ont tenté. Ou vous pouvez garder les équations de Maxwell exactement telles que Maxwell les a écrites, accepter comme donnée empirique que la vitesse de la lumière est la même dans tout référentiel inertiel, et chercher ce qui doit céder ailleurs. En 1905, Einstein a pris la seconde option, et ce qui a cédé, c'est l'hypothèse du temps universel. Deux observateurs en mouvement l'un par rapport à l'autre ne partagent pas d'horloge. L'heure lue et la longueur lue se mélangent l'une dans l'autre d'une façon précise et calculable quand on passe du référentiel d'un observateur à celui d'un autre. Cette règle de mélange s'appelle la transformation de Lorentz — Hendrik Lorentz, le physicien néerlandais, avait écrit les bonnes équations de transformation en 1904, mais il les interprétait comme une bizarrerie de l'interaction des règles et des horloges avec l'éther ; l'article d'Einstein de 1905 les a acceptées comme un énoncé sur l'espace et le temps eux-mêmes. La transformation de Lorentz, dans sa forme la plus simple — une seule direction de mouvement relatif, disons la direction x, avec une vitesse relative v — s'écrit : $t' = gamma left(t - frac{vx}{c^2}right), quad x' = gamma (x - vt), quad y' = y, quad z' = z$ où gamma = 1/sqrt{1 - v^2/c^2} est le facteur de Lorentz. Pour les vitesses de tous les jours — v bien plus petit que c — gamma vaut essentiellement un, le terme vx/c^2 de l'équation temporelle est essentiellement nul, et les équations retombent sur « t' = t, x' = x - vt » — la règle de Galilée. L'écart avec Galilée se cache dans des corrections qui varient comme v^2/c^2. Aux vitesses courantes, ces corrections tombent sous la partie par billion. À un dixième de la vitesse de la lumière, elles font un pour cent. À neuf dixièmes de la vitesse de la lumière, gamma vaut environ 2,3, et les corrections font tout le tableau. Voilà le cadre empirique et historique. Le reste de ce cours porte sur ce que font géométriquement ces transformations de Lorentz — et la réponse, due à Hermann Minkowski en 1908, est que ce sont des rotations dans un espace-temps à quatre dimensions, et qu'il existe sur cet espace-temps une métrique qu'elles laissent intacte. Cette métrique est ce sur quoi l'observateur du quai et celui du train s'accordent en secret, même quand ils sont en désaccord sur tout le reste. Voici l'objet central. La métrique de l'espace-temps plat — celui de la relativité restreinte, sans gravité pour l'instant — écrite dans la même notation d'élément de ligne qu'au cours un. Accrochez-vous, mais l'équation est courte. $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ Cette équation est tout le contenu de la relativité restreinte. Tout le reste de ce cours n'est que comptabilité pour la rendre utilisable. Nommons donc chaque morceau. À gauche, ds^2 — le même petit intervalle au carré qu'au cours un. La généralisation en lettres grecques tient toujours. C'est la règle qui convertit quatre pas de coordonnées infinitésimaux — trois d'espace, un de temps — en une seule grandeur physique sur laquelle les observateurs s'accorderont. Les quatre termes de droite sont les quatre pas de coordonnées. Un pas de temps, dt, multiplié par -c^2. Trois pas d'espace, dx, dy, dz, chacun simplement au carré avec un signe plus. Voilà toute la métrique. Dans la notation en tableau g_{munu} du cours un, la métrique de Minkowski est un tableau diagonal quatre par quatre — -c^2 dans la case temps-temps, +1 dans chacune des trois cases espace-espace, des zéros partout hors diagonale. Trois questions à poser sur cette métrique. Les trois mêmes que pour la règle de Pythagore sur le plan plat, parce que nous faisons le même genre de travail. D'abord — pourquoi le signe moins devant le terme temporel. C'est le signe le plus important de toute la physique du vingtième siècle. Ce signe moins est toute la raison pour laquelle le temps n'est pas une quatrième dimension d'espace. Si le terme temporel venait avec un signe plus — si la métrique était ds^2 = c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, quatre termes positifs — alors l'espace-temps serait un espace euclidien à quatre dimensions. Il n'y aurait pas de cône de lumière. Il n'y aurait ni passé ni futur. Il n'y aurait aucune notion de cause et d'effet inscrite dans la géométrie. Le signe moins est ce qui rend le temps différent de l'espace, tout en laissant temps et espace dans la même équation. Pour voir ce que fait vraiment ce signe moins, prenez le cas le plus simple. Supposez une seule direction d'espace et une de temps : la métrique se simplifie en ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2. Demandez maintenant : que veut dire, pour ds^2, être nul ? Posez -c^2 dt^2 + dx^2 = 0. Réarrangez : dx^2 = c^2 dt^2, ce qui donne dx/dt = pm c. Les pas de coordonnées qui produisent un intervalle nul sont exactement ceux qui correspondent à un mouvement à la vitesse de la lumière. La métrique, à elle seule, désigne donc la vitesse de la lumière comme la vitesse pour laquelle la « distance dans l'espace-temps » est nulle. Voilà l'image que les physiciens appellent un diagramme d'espace-temps. Espace en largeur, temps en hauteur — le temps fois c pour les unités. Les deux diagonales à quarante-cinq degrés sont les trajets de la lumière. Tout ce qui est dans le coin supérieur est un endroit que vous pourriez atteindre depuis l'origine en allant moins vite que la lumière. Tout ce qui est dans le coin inférieur est un endroit d'où vous auriez pu venir en allant moins vite que la lumière. Tout ce qui est dans les coins latéraux, à gauche et à droite, est un endroit inatteignable depuis l'origine sans dépasser la vitesse de la lumière. Le signe moins de la métrique est ce qui découpe le diagramme en ces coins. Et il nous donne un vocabulaire pour les trois sortes de séparation entre deux événements. Si deux événements ont ds^2 < 0 — intervalle au carré négatif — ils sont séparés par un intervalle de genre temps. L'écart temporel entre eux domine l'écart spatial. Un signal plus lent que la lumière peut les relier. Le chronomètre de l'observateur du quai qui bat une fois, puis le même chronomètre qui bat deux fois, sont des événements séparés par un intervalle de genre temps : même lieu, temps différent, et ds^2 = -c^2 dt^2, qui est négatif. Si deux événements ont ds^2 > 0 — intervalle au carré positif — ils sont séparés par un intervalle de genre espace. L'écart spatial domine l'écart temporel. Aucun signal allant à la vitesse de la lumière ou en dessous ne peut les relier. Deux événements simultanés aux deux bouts d'une longue pièce sont séparés par un intervalle de genre espace. Si deux événements ont ds^2 = 0 — intervalle au carré exactement nul — ils sont séparés par un intervalle de genre lumière, ou intervalle nul. Un rayon lumineux peut les relier, et rien de plus lent ne le peut. Le flash qui se déclenche et le photon de ce flash qui atteint votre œil sont séparés par un intervalle de genre lumière. Deuxième question — que veut dire, pour deux observateurs, s'accorder sur ds^2 quand ils divergent sur dt et dx. C'est ici que la transformation de Lorentz gagne son salaire. Prenez deux événements quelconques. Calculez ds^2 dans le référentiel du quai, avec l'horloge et la règle de l'observateur du quai. Vous obtenez un nombre. Transformez ensuite les coordonnées de temps et d'espace vers le référentiel du train par la transformation de Lorentz, et calculez ds^2 dans le référentiel du train. Vous obtenez le même nombre. La démonstration tient en deux lignes d'algèbre ; elle découle de la transformation de Lorentz, conçue précisément pour laisser cette combinaison invariante. Des observateurs différents mesurent des dt différents et des dx différents. Ils notent le même ds^2. Voilà le sens géométrique de la relativité restreinte. L'observateur du quai et celui du train sont deux systèmes de coordonnées différents sur un seul espace-temps à quatre dimensions. La transformation de Lorentz est la règle de changement de coordonnées entre eux. Et la métrique de Minkowski est la structure de l'espace-temps qui survit au changement. Troisième question — et le temps propre, ce que lit vraiment une horloge. Pour une paire d'événements séparés par un intervalle de genre temps — disons deux battements d'un chronomètre porté par un observateur en mouvement — il y a un référentiel spécial : celui où le chronomètre est au repos. Dans ce référentiel, l'écart spatial entre les deux battements est nul. La métrique se réduit à ds^2 = -c^2 dt^2, où dt est le temps que le chronomètre lui-même enregistre entre les deux battements. Les physiciens appellent cela dtau, le temps propre — le temps lu par une horloge présente aux deux événements. Pour un intervalle de genre temps, ds^2 = -c^2 dtau^2. L'intervalle au carré et le temps propre au carré diffèrent d'un facteur moins c^2. Le temps propre est la notion naturelle, pour la géométrie, du « temps écoulé pour la chose qui était vraiment là ». Tout observateur, quel que soit son mouvement, calculera le même temps propre pour la même horloge. Voilà l'accord plus profond qui se cache sous le désaccord du quai de gare. L'observateur du quai et celui du train divergent sur quelle horloge a battu quand. Ils s'accordent sur ce que l'horloge en mouvement a elle-même lu entre deux de ses battements. Tout l'édifice de la relativité restreinte tient sur cette seule invariance. Trois questions plus tard, nous avons la géométrie. Le geste suivant est de faire venir un physicien qui a passé sa carrière à réfléchir à ce que cette géométrie vous apporte, mathématiquement et physiquement. La voix que je veux convoquer ici est celle d'un physicien dont le manuel est la raison pour laquelle la plupart des relativistes en activité savent ce qu'ils savent. Kip Thorne. Richard P. Professeur émérite Feynman de physique théorique à Caltech. Caltech 1962, doctorat à Princeton 1965 sous John Wheeler. Prix Nobel de physique 2017, partagé avec Rainer Weiss et Barry Barish, pour des contributions décisives au détecteur LIGO et à l'observation des ondes gravitationnelles. Coauteur, avec Charles Misner et le même John Wheeler, du manuel Gravitation, publié chez W. H. Freeman en 1973 — un livre que les physiciens appellent « MTW », d'après les initiales de ses auteurs, et qui reste, cinquante-trois ans plus tard, le texte canonique de troisième cycle en relativité générale. Thorne a passé six décennies à réfléchir à ce que le langage de la métrique apporte à la physique. Dans Black Holes and Time Warps, son livre grand public de 1994 publié chez W. W. Norton, il expose l'image géométrique de la relativité pour un large public, dans une langue que toutes les vulgarisations lui ont empruntée depuis. Ce qui suit est une paraphrase, dans la voix de ses positions publiées — pas une citation textuelle, mais une synthèse du cadrage qu'il a employé dans MTW, dans les documents de sa conférence Nobel et dans Black Holes and Time Warps — de ce que fait la métrique de Minkowski. Ce que je veux que vous reteniez de la métrique de Minkowski, c'est ceci. La relativité restreinte ne dit pas que des observateurs en mouvement mesurent les mêmes choses. Elle dit le contraire. Deux observateurs en mouvement relatif mesureront des durées écoulées différentes entre la même paire d'événements ; ils mesureront des distances spatiales différentes ; ils mesureront des ordres différents pour savoir quel événement a eu lieu d'abord. Ils seront en désaccord sur à peu près tout énoncé dépendant des coordonnées que vous pourrez leur soumettre. Ce sur quoi ils ne seront pas en désaccord, c'est la géométrie. Il y a un seul espace-temps à quatre dimensions. Chaque observateur a sa façon de le trancher — trois dimensions qu'il appelle espace, une qu'il appelle temps — et leurs tranchages sont inclinés l'un par rapport à l'autre. Le tranchage dépend de l'observateur. La chose à quatre dimensions qu'on tranche, non. La métrique est ce qui vous dit ce qui dépend de l'observateur et ce qui n'en dépend pas. Un pas de coordonnée comme dt ou dx dépend de l'observateur ; il dépend du tranchage. La combinaison -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 — l'intervalle au carré — n'en dépend pas. C'est le même nombre pour tout observateur inertiel. Voilà le contenu de l'invariance de Lorentz. Pensez à ce que cela fait à votre notion de réalité physique. Avant 1905, les physiciens traitaient le temps et l'espace séparément. Chacun avait sa propre métrique. L'horloge qui battait sur le quai était la même que celle qui battait dans le train, simplement lue par deux personnes différentes. La relativité de la simultanéité a changé cela. L'horloge du train n'est pas celle du quai. Ce sont deux horloges, deux tranchages différents du même objet sous-jacent. Hermann Minkowski, en 1908 à Cologne, en a tiré la bonne conclusion. Il a dit : désormais, l'espace seul et le temps seul sont voués à s'évanouir en simples ombres. Seule une union des deux conservera une réalité indépendante. C'est la fameuse phrase d'ouverture de Minkowski, et ce n'est pas de la rhétorique. C'est l'énoncé géométrique selon lequel ce qui est réel, en relativité restreinte, est la chose à quatre dimensions — et ce que mesure chaque observateur en est une projection. Si cela compte pour tout ce qui suit, c'est qu'une fois qu'on a une métrique sur un objet à quatre dimensions, toute la machinerie géométrique développée au cours un pour les surfaces à deux dimensions — qu'est-ce qu'une droite, qu'est-ce qu'une distance, comment transporte-t-on parallèlement un vecteur — se transpose. Les mathématiques se moquent qu'une direction porte un signe moins. Ce qui leur importe, c'est que vous ayez une métrique. Vous avez une métrique. Vous pouvez donc faire de la géométrie sur l'espace-temps exactement comme vous en faisiez sur une sphère. Quand Einstein est passé de la relativité restreinte, en 1905, à la relativité générale, en 1915, son geste a été de laisser la métrique varier d'un point à l'autre. La métrique plate de Minkowski — celle que vous venez d'apprendre — est l'espace-temps de la relativité restreinte. Le g_{munu} général — celui qui varie, qui répond à la masse et à l'énergie — est l'espace-temps de la relativité générale. La métrique de Minkowski est ce que vous retrouvez, localement, dans toute parcelle assez petite de tout espace-temps, parce que toute variété lisse paraît plate si on zoome assez. Voilà l'architecture géométrique qu'expose le manuel de Misner, Thorne et Wheeler. L'espace-temps est l'arène. La métrique est la structure qui en fait une géométrie plutôt qu'un ensemble de points. L'invariance de Lorentz est la symétrie locale de chaque parcelle. Et tout observateur muni d'une horloge et d'une règle mesure des projections — les projections d'un objet à quatre dimensions sur son tranchage particulier. L'objet à quatre dimensions est ce qu'il faut tenir pour physiquement réel. L'énoncé géométrique que Thorne vient de parcourir est ce qui rend possible la comptabilité de la section suivante. Si les observateurs divergent sur les coordonnées mais s'accordent sur la géométrie, alors la façon d'écrire une grandeur physique — une vitesse, une quantité de mouvement, une énergie — est celle qui vit dans la géométrie, et non dans les coordonnées d'un observateur particulier. Cette forme, c'est le quadrivecteur. Voici la comptabilité. Dans la physique ordinaire à trois dimensions, un vecteur est une grandeur à trois composantes — trois nombres, un par direction d'espace. La vitesse d'une balle de baseball lancée a trois composantes : sa vitesse vers l'est, vers le nord, vers le haut. La quantité de mouvement de la balle est masse fois vitesse, également à trois composantes. Quand vous passez d'un observateur à un autre — disons que vous faites tourner vos axes — les trois composantes du vecteur se mélangent de façon calculable, mais le vecteur lui-même, la flèche sous-jacente, ne change pas. La relativité restreinte vous demande le même tour avec quatre composantes au lieu de trois. Un quadrivecteur a une composante de temps et trois d'espace, et quand vous passez d'un observateur inertiel à un autre par une transformation de Lorentz, les quatre composantes se mélangent — mais le quadrivecteur lui-même, la flèche sous-jacente dans l'espace-temps, ne change pas. Le quadrivecteur le plus simple est celui qui enregistre où et quand un événement se produit. Appelons-le le quadrivecteur position. Dans le référentiel de l'observateur du quai, ses quatre composantes sont (ct, x, y, z). Le facteur c devant t est là pour que les quatre composantes aient les mêmes unités. Les physiciens l'écrivent d'ordinaire avec un indice grec : le quadrivecteur position devient x^mu, où mu va de zéro à trois : x^0 = ct, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z. L'indice grec est la même étiquette comptable qu'au cours un — il dit quelle composante, pas quel nombre. Faites maintenant le même tour avec le mouvement. En physique ordinaire, la vitesse est le taux de variation de la position — la dérivée de (x, y, z) par rapport au temps. En relativité restreinte, se pose la question : le temps de qui — le t de l'observateur du quai, celui du train, ou le temps propre tau que porte la chose en mouvement ? La bonne réponse est le temps propre. Si vous dérivez le quadrivecteur position par rapport au temps propre de l'objet en mouvement — le temps que lit sa propre horloge — vous obtenez une grandeur sur laquelle tous les observateurs inertiels s'accorderont, puisqu'ils s'accordent tous sur cette horloge. Cette grandeur est la quadrivitesse, u^mu : $u^mu = frac{dx^mu}{dtau}$ La quadrivitesse est ce que vous obtenez en demandant : « comment la position de l'objet dans l'espace-temps change-t-elle, par unité de sa propre horloge ? » Sa composante zéro, u^0, vaut c cdot dt/dtau = c cdot gamma — le facteur gamma fois la vitesse de la lumière. Ses composantes d'espace valent gamma fois la vitesse ordinaire à trois composantes. Donc aux vitesses de tous les jours, où gamma vaut essentiellement un, la quadrivitesse est en gros (c, vx, vy, v_z) — votre vitesse habituelle, avec la vitesse de la lumière ajoutée en composante zéro. Quand la vitesse approche c, gamma explose, et la quadrivitesse devient plus intéressante. Ensuite : la quantité de mouvement. En physique ordinaire, la quantité de mouvement est masse fois vitesse. En relativité restreinte, la quadri-impulsion est masse fois quadrivitesse : $p^mu = m u^mu$ où m est la masse au repos — celle qu'un observateur mesure quand la chose est au repos dans son référentiel. La quadri-impulsion a quatre composantes. La composante zéro vaut m c gamma. Les trois composantes d'espace valent gamma m fois la vitesse ordinaire à trois composantes. Si vous faites un développement de Taylor de gamma pour v/c petit, la composante zéro devient environ mc + frac{1}{2} m v^2 / c + ldots, et vous reconnaissez le second terme : l'énergie cinétique, divisée par c. La composante zéro de la quadri-impulsion, multipliée par c, est donc l'énergie totale de l'objet en mouvement. Les physiciens écrivent cela $p^0 = E/c$ et la quadri-impulsion, sous sa forme standard, s'écrit $p^mu = (E/c, px, py, p_z)$ Cet arrangement fait dire à la relativité restreinte quelque chose de frappant. Énergie et impulsion ne sont pas des grandeurs séparées. Ce sont quatre composantes d'un même quadrivecteur. Un observateur au repos par rapport à une particule mesure une énergie et une impulsion nulle. Un observateur en mouvement par rapport à elle mesure une autre énergie et une quantité de mouvement non nulle. Les deux observateurs mesurent deux découpages différents de la même quadri-impulsion sous-jacente, entre sa part de temps et ses parts d'espace. La quadri-impulsion elle-même est la même. Et voici la chute. Une fois que vous avez un quadrivecteur et une métrique, vous pouvez calculer la longueur au carré du quadrivecteur — avec la métrique même qui vous a donné l'intervalle au carré entre événements. Pour la quadri-impulsion, cette longueur au carré, dans la convention de ce cours, vaut : $p^mu p_mu = -m^2 c^2$ L'indice du bas ici — pmu, indice abaissé — est la version contractée par la métrique de p^mu, qui vaut en espace de Minkowski plat pmu = (-E/c, px, py, pz) — la composante de temps change de signe, celles d'espace non. Quand vous calculez p^mu pmu, vous sommez sur mu et vous employez la convention de sommation d'Einstein du cours un. Trois lignes d'algèbre plus tard, vous obtenez -E^2/c^2 + px^2 + py^2 + p_z^2 = -m^2 c^2. Réarrangez, multipliez par -c^2, et vous tenez l'équation que les étudiants de physique apprennent sous un alias légèrement différent : $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ C'est la relation relativiste énergie-impulsion. Pour une particule au repos — sans quantité de mouvement, p = 0 — elle se réduit à E = mc^2, l'équation la plus célèbre de la physique. Pour une particule sans masse comme le photon — masse au repos nulle, m = 0 — elle devient E = pc, la relation énergie-impulsion de la lumière. Pour tout ce qui est entre les deux, c'est l'équation qui noue énergie, quantité de mouvement et masse au repos en un seul invariant. Et le contenu géométrique est ce qu'il faut retenir. Le membre de droite, -m^2 c^2, ne dépend pas de l'observateur — la masse au repos au carré est le même nombre dans tout référentiel. Le membre de gauche, p^mu p_mu, est bâti sur la quadri-impulsion et la métrique, qui se transforment toutes deux sous Lorentz de façons qui se compensent exactement. L'équation est donc vraie dans tout référentiel, même si E et p, pris séparément, dépendent du référentiel où vous êtes. Voilà ce que vous achète la « comptabilité en quadrivecteurs ». Vous écrivez une grandeur physique une fois, dans la langue des quadrivecteurs. Chaque observateur peut ensuite y lire son propre tranchage. Les tranchages divergent. Le quadrivecteur, non. Il reste un objet à poser sur la table, car tout le bloc B et tout le bloc D de cette série y reviendront. La quadri-impulsion, p^mu, est ce que vous écrivez pour une seule particule traversant l'espace-temps. Mais la matière n'est pas d'ordinaire une seule particule. La matière, ce sont des champs, des fluides, des collections — énergie et impulsion réparties dans un volume. Pour ce cas, il vous faut un cran au-dessus. Pas un quadrivecteur, mais un tableau quatre par quatre de quadrivecteurs. Un objet à deux indices au lieu d'un. Les physiciens l'appellent le tenseur énergie-impulsion, et l'écrivent T^{munu} — ou, les deux indices abaissés, T_{munu}. Les deux indices vont chacun de zéro à trois, donc le tableau a seize entrées. Par symétrie, dix seulement sont indépendantes. Chaque entrée a un sens physique. T^{00} est la densité d'énergie — combien d'énergie se trouve dans un petit volume en un point donné. T^{0i}, où i parcourt les trois directions d'espace, est la densité de quantité de mouvement — combien de quantité de mouvement s'écoule dans chaque direction spatiale. T^{ii}, les composantes spatiales diagonales, sont la pression — force par surface poussant vers l'extérieur dans chaque direction. T^{ij} hors diagonale, avec i ne j, sont les contraintes de cisaillement — les mêmes grandeurs auxquelles pense un ingénieur en structure qui se demande si une poutre va se tordre. Ce qu'est le tenseur énergie-impulsion, en une phrase : c'est la comptabilité complète de la façon dont l'énergie et la quantité de mouvement sont réparties et s'écoulent dans une région d'espace-temps. Toute forme de matière physique — poussière, gaz, champs électromagnétiques, vide quantique, énergie noire, tout ce dont on peut écrire un lagrangien — possède un tenseur énergie-impulsion. Ce qu'il fait, dans ce cours, c'est préparer le suivant. Car voici le pont. En 1915, Einstein a écrit une équation de champ qui dit, en gros, $G{munu} = frac{8pi G}{c^4} T{munu}$ Le membre de gauche, G{munu}, est le tenseur d'Einstein — une combinaison précise de la métrique g{munu} et de ses dérivées, que nous bâtirons au cours 3. Il encode la courbure locale de l'espace-temps. Le membre de droite est le tenseur énergie-impulsion, multiplié par des constantes. L'équation dit, en langage simple : la courbure de l'espace-temps, en chaque point, est déterminée par l'énergie et la quantité de mouvement présentes en ce point. La géométrie à gauche. La matière à droite. L'équation est le lien. La métrique est la géométrie. Le tenseur énergie-impulsion est ce à quoi la géométrie répond. Le cours 3 porte sur la façon dont la réponse fonctionne. Le cours 6 porte sur les tenseurs énergie-impulsion que l'univers vous laissera ou ne vous laissera pas avoir. Le cours 8 porte sur une région du vide quantique où les entrées T^{ii} ont été mesurées négatives — l'effet Casimir, la fenêtre expérimentale la plus nette sur la question de savoir si le membre source de l'équation d'Einstein peut être fabriqué. Le cours 10 porte sur la question de savoir si quiconque a, comme affirmation publiée, manipulé la géométrie locale en fabriquant T_{munu}. Gardez l'image. Le quadrivecteur p^mu est la comptabilité d'une particule. Le tenseur T{munu} est la comptabilité de toute une distribution d'énergie et de quantité de mouvement. La métrique de Minkowski est la géométrie de l'espace-temps plat et vide. Le g{munu} général est la géométrie une fois que T_{munu} a eu son mot à dire. Voilà l'architecture que ce cours a bâtie. Avant de conclure, il y a l'autre voix dans la pièce. La voix du sceptique, dans ce cours, est celle de Sean Carroll. Doctorat en physique théorique, Harvard, 1993. Actuellement professeur Homewood de philosophie naturelle à Johns Hopkins, nommé en 2022. Auteur de Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, publié chez Addison-Wesley en 2004 — le manuel que beaucoup de troisièmes cycles de physique utilisent comme premier texte de relativité générale, à côté de MTW. Animateur du podcast Mindscape depuis 2018. Le rôle de Carroll dans ce cours est de tracer une ligne que la relativité restreinte, à elle seule, ne trace pas. La ligne entre ce que la géométrie permet comme objet mathématique et ce que l'univers permet comme objet physique. C'est la même ligne que Hossenfelder traçait au cours un, dans un autre registre. Nous entendrons la même discipline appliquée à un type précis de surenchère — le passage de « la quadri-impulsion est un quadrivecteur » à « donc on peut fabriquer des quadri-impulsions arbitraires ». La position publiée de Carroll sur le geste analogue en propulsion sans propergol est au dossier, dans son billet Preposterous Universe de 2015, « Warp Drives and Scientific Reasoning ». Ce qui suit est le groupe de phrases textuel de ce billet, reproduit mot pour mot depuis la source publiée. Si vous voulez avancer, vous devez pousser sur quelque chose ou propulser quelque chose vers l'arrière. … Ce que je veux de cette discussion, ce sont des scientifiques très respectés, travaillant dans des conditions exquisément contrôlées, produisant des publications évaluées. Lisez cela deux fois, lentement. Si vous voulez avancer, vous devez pousser sur quelque chose ou propulser quelque chose vers l'arrière. Cette phrase, c'est la troisième loi de Newton d'un seul souffle. Tout mouvement du centre de masse d'un corps exige que le centre de masse de quelque chose d'autre bouge en sens inverse. Conservation de la quantité de mouvement. La version invariante de Lorentz de cette loi de conservation dit exactement que la quadri-impulsion d'un système fermé se conserve comme quadrivecteur — le total p^mu entrant égale le total p^mu sortant. Ce que Carroll conteste, dans le contexte du moteur à distorsion et de la propulsion sans propergol — et qui vaut pour toute affirmation du bloc D que cette série abordera — c'est le passage de « les maths admettent des quadrivecteurs qui font des choses intéressantes » à « donc nous pouvons fabriquer des quadrivecteurs qui font des choses intéressantes, sans payer le prix de la conservation de la quantité de mouvement ». La comptabilité en quadrivecteurs est une langue. Elle ne vous autorise pas à écrire n'importe quel quadrivecteur en supposant que l'univers le fournira. Le membre de droite des équations du champ d'Einstein — le membre T_{munu} — doit venir de quelque part. Si vous voulez une géométrie particulière, il vous faut une distribution particulière d'énergie et de quantité de mouvement. Et si vous voulez que la quantité de mouvement parte vers l'avant d'un côté sans que rien ne parte vers l'arrière de l'autre, vous demandez à l'univers de violer la loi de conservation même qui donne un sens au formalisme des quadrivecteurs. Voilà la discipline. Les maths admettent des quadrivecteurs aux composantes qu'on veut, écrites sur le papier. La physique exige que ces quadrivecteurs viennent de sources réelles, conservées de façon cohérente, dans des configurations que l'univers a été observé en train de fournir. Le second critère est bien, bien plus strict que le premier. La seconde phrase de Carroll — ce que je veux de cette discussion, ce sont des scientifiques très respectés, travaillant dans des conditions exquisément contrôlées, produisant des publications évaluées — est le test éditorial. C'est le test auquel cette série soumettra chaque affirmation porteuse. L'échafaudage mathématique que nous avons bâti aujourd'hui est impeccable : la relativité restreinte est la théorie la plus testée de l'histoire de la physique, et la comptabilité en quadrivecteurs est la façon dont tout physicien des particules en activité écrit un calcul. Mais « le formalisme est impeccable » ne vous achète pas « telle proposition d'ingénierie est licite ». Le formalisme est la langue. Les propositions licites sont celles qui paient le prix de la conservation et des conditions d'énergie dans une monnaie que l'univers accepte. Tenez cette ligne. La relativité restreinte vous dit quelle est la géométrie de l'espace-temps plat. Le tenseur énergie-impulsion vous dit ce qui alimente la géométrie. La troisième loi de Newton, sous sa forme invariante de Lorentz, vous dit que la source doit venir de quelque part. Rien de tout cela n'est renversé au cours suivant, quand nous laisserons la métrique se courber. La discipline se transmet. Ce que ce cours vous a acheté, c'est la langue. Quatre morceaux de langue, chacun appelé à travailler dans un cours ultérieur précis. L'élément de ligne de Minkowski — ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 — et les trois sortes d'intervalle qu'il admet. De genre espace. De genre temps. De genre lumière. Cette trichotomie sera porteuse au cours 5, quand nous rencontrerons le trou de ver traversable de Morris-Thorne — Michael Morris et Kip Thorne, American Journal of Physics volume 56, page 395, 1988. La condition d'évasement que Morris et Thorne ont écrite pour la gorge du trou de ver est, au fond, un énoncé sur les directions de la gorge qui sont de genre espace et celles qui sont de genre temps, et sur le tenseur énergie-impulsion qu'il faut à la gorge pour empêcher les directions de genre espace d'effondrer la géométrie. Vous ne pouvez pas lire cette condition sans le vocabulaire que vous venez d'apprendre. La quadrivitesse et la quadri-impulsion — u^mu et p^mu = (E/c, px, py, p_z). Cette comptabilité reviendra au cours 7, quand nous rencontrerons le vide quantique et le développement en modes d'un champ quantique. Chaque mode de ce développement porte une quadri-impulsion. Le vide est l'état où chaque mode est dans sa configuration de plus basse énergie, et l'énergie du point zéro de chaque mode contribue au T^{00} total du vide. L'effet Casimir, que nous rencontrons au cours 8, est ce qui se produit quand on remodèle les frontières qui sélectionnent les modes autorisés — et le T^{ii} entre deux plaques parallèles est négatif. Le tenseur énergie-impulsion que nous venons de définir est l'objet qui le dit. Le tenseur énergie-impulsion T{munu} lui-même. Ce tenseur est le pont de ce cours vers le cours 3, quand les équations du champ d'Einstein apparaîtront et que le membre de gauche, G{munu}, sera bâti à partir de la courbure de g{munu}. T{munu} est aussi l'objet central du cours 6, sur les conditions d'énergie — les conditions faible, nulle, forte et dominante sont des contraintes sur T{munu}, des énoncés sur les distributions d'énergie-impulsion que l'univers consent à fournir. Et T{munu} est l'objet central du cours 10, sur la série de brevets Pais — l'affirmation d'ingénierie de ces brevets, lue comme de la physique, est qu'un certain type de condition aux limites électromagnétique peut pousser T_{munu} dans un régime qui alimente un certain type de géométrie. Les brevets et l'article d'accompagnement dans IEEE Transactions on Plasma Science existent au dossier public. Savoir si le mécanisme proposé fait ce que les brevets affirment est la question qu'abordera le cours 10, avec la discipline que Carroll vient d'énoncer. L'invariance de Lorentz — l'énoncé selon lequel la métrique de Minkowski est la même dans tout référentiel inertiel. C'est la symétrie locale de chaque parcelle de chaque espace-temps de cette série. En relativité générale, la métrique varie d'un point à l'autre, mais dans un voisinage assez petit de tout point, elle ressemble à celle de Minkowski. Le principe d'équivalence est l'énoncé formel de ce fait. C'est au cours 3 qu'il gagne son salaire. La troisième loi de Newton, sous sa forme invariante de Lorentz — la conservation de la quadri-impulsion pour un système fermé. C'est la loi de conservation à laquelle on n'échappe pas en passant au relativiste. La phrase de Carroll sur le fait de pousser sur quelque chose traverse tous les cours suivants de cette série. Chaque fois que vous voyez une affirmation de propulsion ou de manipulation de la géométrie, la question à poser est : où part la quadri-impulsion ? Contre quel quadrivecteur pousse-t-on pour produire le quadrivecteur poussé vers l'avant ? Si l'affirmation ne répond pas à cette question, elle n'a pas encore mérité le formalisme qu'elle invoque. Quatre morceaux. La métrique. La comptabilité. Le tenseur qui alimente la métrique. La loi de conservation qui discipline le tenseur. Le cours suivant confie ces quatre morceaux à la relativité générale et laisse la métrique se courber. Retournez sur le quai. Même auditeur. Les deux mêmes silhouettes. L'une immobile, l'autre ayant défilé à bord du train. Le chronomètre de l'observateur du quai a indiqué un nombre pour le flash. Celui de l'observateur du train en a indiqué un autre. Tous deux ont raison. La question que vous pouvez poser maintenant est plus aiguisée que celle du départ. Vous pouvez demander sur quoi leurs mesures s'accordent. La réponse est l'intervalle d'espace-temps au carré ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 entre l'événement du flash et l'événement suivant de leur choix. Vous pouvez demander ce que chacun mesure, en termes de géométrie sous-jacente. La réponse est la projection d'une réalité à quatre dimensions sur un tranchage particulier — le sien. Vous pouvez demander quelle sorte de séparation sépare deux événements qui les intéressent. De genre espace, de genre temps ou de genre lumière. Vous pouvez demander quelle loi de conservation de la quantité de mouvement leur désaccord respecte encore. La version invariante de Lorentz de la troisième loi de Newton. Rien de tout cela n'était dans leur désaccord au début du cours. Tout y est maintenant, dans la langue. Le cours 3 reprend là où celui-ci s'arrête. La relativité générale. Les symboles de Christoffel, les géodésiques, le tenseur de Riemann, les équations du champ d'Einstein. La métrique cesse d'être plate. La géométrie se met à répondre à ce qu'elle contient. Même auditeur. Même quai. Une géométrie nouvelle.