Mecánica estadística
Conecta los estados microscópicos con la temperatura, la entropía, las fluctuaciones, las fases y la estadística cuántica.
Desarrolla los colectivos y las funciones de partición, deduce las cantidades termodinámicas y aprende cuándo las fluctuaciones o los recursos fuera del equilibrio pueden —y cuándo no pueden— sostener un trabajo útil.
Antes de empezar
- • Cálculo y probabilidad
- • Termodinámica del nivel 2
- • Mecánica cuántica introductoria
Al terminar, podrás
- • Usar los colectivos microcanónico, canónico y macrocanónico.
- • Deducir observables a partir de las funciones de partición.
- • Calcular escalas de fluctuación y probabilidades de fase.
- • Separar el ruido de equilibrio de los recursos de trabajo fuera del equilibrio.
Modelo interactivo
Explora antes de calcular
Lección 1 de 3
Microestados, macroestados y colectivos
¿Cómo pueden muchas configuraciones microscópicas compartir una misma temperatura y presión medidas?
Un macroestado especifica variables gruesas mientras muchos microestados las realizan. La entropía de Boltzmann S=kB lnΩ cuenta los microestados compatibles.
Un colectivo es un modelo de probabilidad sobre los microestados dadas unas restricciones. Elegir el colectivo significa declarar qué puede intercambiar energía, partículas o volumen.
Ejemplo resuelto
Un macroestado tiene cuatro veces más microestados que otro. Halla la diferencia de entropía.
- 1. Usa ΔS=kB ln(Ω₂/Ω₁).
- 2. Sustituye la razón 4.
- 3. Deja la forma logarítmica o evalúala.
ΔS=kB ln4.
Pruébalo
Contar multiplicidades
Materiales: Monedas o una simulación de estados binarios.
- 1. Enumera el número de caras para N pequeño.
- 2. Calcula las multiplicidades binomiales.
- 3. Representa la multiplicidad frente al macroestado.
- 4. Aumenta N.
Fíjate: Los macroestados parecidos al de equilibrio dominan porque los realizan muchísimos más microestados.
Comprueba lo que entendiste: ¿Una entropía alta significa que cada microestado está desordenado en un sentido visual y subjetivo?
Respuesta: No.
La entropía se define a partir de las probabilidades de los estados o de las multiplicidades bajo unas restricciones macroscópicas especificadas.
Lección 2 de 3
Funciones de partición y derivadas termodinámicas
¿Cómo puede una sola suma ponderada generar la energía, la entropía, la capacidad calorífica y las poblaciones?
La función de partición canónica Z=Σe⁻ᵝᴱ pondera los autoestados de energía en contacto con un foco térmico. Su logaritmo genera las cantidades termodinámicas.
La energía libre F=−kBT lnZ equilibra energía y entropía y determina el equilibrio a temperatura y volumen fijos.
Ejemplo resuelto
Para un sistema de dos niveles con energías 0 y ε, halla Z.
- 1. Pondera el estado fundamental con 1.
- 2. Pondera el estado excitado con e⁻ᵝε.
- 3. Suma los pesos de los estados permitidos.
Z=1+e⁻ᵝε y la población excitada es e⁻ᵝε/Z.
Pruébalo
Capacidad calorífica de dos niveles
Materiales: Un cuaderno y un rango de temperaturas.
- 1. Calcula la población excitada frente a T.
- 2. Calcula la energía media.
- 3. Deriva de forma numérica para obtener la capacidad calorífica.
- 4. Localiza su máximo.
Fíjate: La capacidad calorífica alcanza su pico donde la energía térmica compite con la separación entre niveles.
Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué Z no suele ser una probabilidad en sí misma?
Respuesta: Es la suma de normalización de los pesos de Boltzmann.
Las probabilidades individuales son e⁻ᵝᴱ/Z.
Lección 3 de 3
Fluctuaciones, fases y estadística cuántica
¿Cuándo revelan las fluctuaciones colectivas una transición en lugar de un depósito nuevo de energía?
La varianza canónica de la energía está ligada a la capacidad calorífica. Las fluctuaciones relativas suelen encogerse con el tamaño del sistema, pero crecen cerca de algunos puntos críticos.
Los bosones y los fermiones obedecen estadísticas de ocupación distintas. Los gradientes fuera del equilibrio pueden mover trabajo; en el equilibrio, el balance detallado prohíbe una rectificación pasiva convertida en salida cíclica sostenida.
Ejemplo resuelto
Si N contribuciones independientes fluctúan con una desviación típica proporcional a √N, ¿cómo escala la fluctuación relativa?
- 1. La media escala como N.
- 2. La desviación típica escala como √N.
- 3. Divide √N/N.
Las fluctuaciones relativas escalan como 1/√N y se vuelven pequeñas a escala macroscópica.
Pruébalo
Exploración de fases al estilo Ising
Materiales: Una simulación sencilla en una red.
- 1. Ejecútala a temperatura alta y a temperatura baja.
- 2. Sigue la magnetización y la energía.
- 3. Barre a través de la transición.
- 4. Representa las fluctuaciones y comprueba la histéresis.
Fíjate: El orden colectivo y las fluctuaciones grandes emergen de interacciones locales sin implicar energía libre más allá del baño modelado.
Comprueba lo que entendiste: ¿Puede un trinquete isotermo rectificar de forma pasiva y para siempre el ruido térmico de equilibrio?
Respuesta: No.
El propio trinquete fluctúa; el balance detallado cancela el trabajo dirigido sostenido a una sola temperatura.
De la fórmula al significado
Lee la ecuación en lenguaje corriente.
S=k_B lnΩ
La entropía mide la multiplicidad de microestados restringidos igualmente probables.
Z=Σ_i e^(−βE_i)
La función de partición normaliza los pesos canónicos de los estados.
F=−k_BT lnZ
La energía libre de Helmholtz genera la termodinámica de equilibrio a temperatura fija.
Práctica independiente
Serie de problemas
Resuelve cada problema antes de abrir la pista y la solución.
1. Halla la razón de probabilidades p₂/p₁ para estados separados por ΔE a temperatura T.
Ver la pista
Divide sus factores de Boltzmann.
Ver la solución
p₂/p₁=e^(−ΔE/kBT).
2. Para Z=1+e⁻ᵝε, halla la energía media.
Ver la pista
Solo el estado excitado aporta ε.
Ver la solución
⟨E⟩=εe⁻ᵝε/(1+e⁻ᵝε).
3. La multiplicidad de un sistema se duplica. Halla ΔS.
Ver la pista
Usa la razón de multiplicidades.
Ver la solución
ΔS=kB ln2.
Taller de derivación
Construye el resultado, línea a línea.
Mantén las suposiciones a la vista para que la matemática siga siendo auditable.
Punto de partida
La distribución canónica
Sistema pequeño y reservorio grande que forman un conjunto aislado con energía total fija
- 1. La probabilidad de que el sistema tenga energía E es proporcional a la multiplicidad del foco ΩR(Etot−E).
- 2. Desarrolla la entropía del foco SR alrededor de Etot.
- 3. Usa ∂S/∂E=1/T.
- 4. Exponencia el cambio de entropía de primer orden y normaliza.
p_i=e^(−βE_i)/Z
Los pesos de Boltzmann surgen de contar los estados compatibles con el foco.
Punto de partida
La varianza de la energía y la capacidad calorífica
⟨E⟩=−∂lnZ/∂β
- 1. Deriva ⟨E⟩ respecto a β.
- 2. Reconoce el segundo momento menos la media al cuadrado.
- 3. Usa dβ/dT=−1/(kBT²).
- 4. Relaciona d⟨E⟩/dT con la capacidad calorífica.
Var(E)=kBT²C_V
Las fluctuaciones de energía en el equilibrio están ligadas cuantitativamente a la respuesta.
Cuaderno computacional
Convierte el modelo en un experimento.
Colectivos de dos niveles y del oscilador
¿Cómo moldean los espectros discretos la energía, la entropía y la capacidad calorífica a lo largo de la temperatura?
Entradas
- • Separación entre niveles o frecuencia del oscilador
- • Malla de temperaturas
- • Corte de estados para el oscilador
Algoritmo
- 1. Construye los pesos de Boltzmann.
- 2. Normaliza las probabilidades.
- 3. Calcula E, F, S y C.
- 4. Comprueba la convergencia al variar el corte.
Evidencia que producir
- • Curvas de población y termodinámicas
- • Comparación del pico de capacidad calorífica
- • Informe de convergencia numérica
Sigue hacia la evidencia
Próxima lectura, con sus fuentes
Capítulo 6: Obtener energía del vacío
Fronteras termodinámicas y de información para los protocolos de energía del vacío.
Clase 8: El efecto Casimir
Fenómenos de contorno en equilibrio y accionados, separados experimentalmente.
Capítulo 5: Teoría del vacío superfluido
Analogías de materia condensada, modos colectivos y sus límites.