Calcul différentiel, vecteurs et équations différentielles
Construisez le langage mathématique qui transforme des récits physiques en lois locales et en trajectoires testables.
Reliez dérivées, intégrales, champs de vecteurs, algèbre linéaire, modes de Fourier et équations différentielles aux parcours de mécanique, de champs, de relativité et de quantique du site.
Avant de commencer
- • Mécanique du niveau 2
- • Algèbre, trigonométrie et fonctions
- • Aisance dans la lecture de graphiques
À la fin, vous saurez
- • Interpréter physiquement les dérivées et les intégrales.
- • Calculer avec des vecteurs, des matrices, des gradients, des divergences et des rotationnels.
- • Résoudre des équations différentielles représentatives du premier et du second ordre.
- • Utiliser l'analyse dimensionnelle, les lois d'échelle et l'intégration numérique pour tester un modèle.
Modèle interactif
Explorez avant de calculer
Un champ de vecteurs associe un vecteur à chaque position. Ces flèches d’accélération newtonienne indiquent seulement la direction ; leur norme figure dans les valeurs de chaque point. Les deux masses contribuent dans la vue à deux corps.
La gravité n’a pas de « bas » universel
Imagine de petits objets tests tout autour des masses. Chaque flèche indique la direction dans laquelle la gravité modifie le mouvement d’un objet, et non sa trajectoire.
À l’extérieur d’une masse sphérique, la gravité pointe vers son centre depuis toutes les directions.
Toutes les flèches non nulles ont la même longueur en 3D : elles indiquent seulement la direction. L’intensité figure dans les valeurs de chaque point. Une flèche peut paraître plus courte lorsqu’elle pointe vers ton point de vue ou dans la direction opposée. Les flèches plus pâles se trouvent dans la moitié la plus éloignée de la scène ; elles n’indiquent pas une gravité plus faible.
À toi : où est le bas ?
- Choisis une masse. Prédis où pointent les flèches du côté le plus éloigné, puis tourne la vue pour vérifier. Regarde du dessus et du dessous : pointent-elles toujours vers la masse ?
- Choisis deux masses et tourne encore la vue. Chaque flèche combine maintenant les deux attractions ; elle ne pointe pas forcément vers l’un des centres. La plus petite masse contribue aussi.
Tourner la vue a-t-il changé la gravité ou seulement ta façon de la voir ?
Vérifie ta réponse
Seul ton point de vue a changé. Les masses et l’attraction à chaque point sont restées les mêmes. Il n’y a pas de fond sous toute la scène.
Point sélectionné · Unités mises à l’échelle pour l’apprentissage
x, y et z sont les coordonnées de la scène, pas un haut ou un bas universel.
- Position (x, y, z)
- 1,25; 0,02604; 0
- Accélération (x, y, z)
- -2,559; -0,05333; 0
- Intensité
- 2,56
Masses de cet instantané
- A: Masse 4; Rayon 0,64; Centre (0; 0; 0)
Valeurs de tous les points
| Point | Position (x, y, z) | Accélération (x, y, z) | Intensité |
|---|---|---|---|
| 1 | 1,25; 0,02604; 0 | -2,559; -0,05333; 0 | 2,56 |
| 2 | -1,25; -0,02604; 0 | 2,559; 0,05333; 0 | 2,56 |
| 3 | -0,9199; 0,07813; 0,8427 | 1,884; -0,16; -1,726 | 2,56 |
| 4 | 0,9199; -0,07813; -0,8427 | -1,884; 0,16; 1,726 | 2,56 |
| 5 | 0,1087; 0,1302; -1,238 | -0,2226; -0,2667; 2,536 | 2,56 |
| 6 | -0,1087; -0,1302; 1,238 | 0,2226; 0,2667; -2,536 | 2,56 |
| 7 | 0,7524; 0,1823; 0,9814 | -1,541; -0,3733; -2,01 | 2,56 |
| 8 | -0,7524; -0,1823; -0,9814 | 1,541; 0,3733; 2,01 | 2,56 |
| 9 | -1,209; 0,2344; -0,2139 | 2,476; -0,48; 0,438 | 2,56 |
| 10 | 1,209; -0,2344; 0,2139 | -2,476; 0,48; -0,438 | 2,56 |
| 11 | 1,027; 0,2865; -0,6531 | -2,103; -0,5867; 1,337 | 2,56 |
| 12 | -1,027; -0,2865; 0,6531 | 2,103; 0,5867; -1,337 | 2,56 |
| 13 | -0,3124; 0,3385; 1,162 | 0,6397; -0,6933; -2,38 | 2,56 |
| 14 | 0,3124; -0,3385; -1,162 | -0,6397; 0,6933; 2,38 | 2,56 |
| 15 | -0,5473; 0,3906; -1,054 | 1,121; -0,8; 2,158 | 2,56 |
| 16 | 0,5473; -0,3906; 1,054 | -1,121; 0,8; -2,158 | 2,56 |
| 17 | 1,098; 0,4427; 0,401 | -2,249; -0,9067; -0,8213 | 2,56 |
| 18 | -1,098; -0,4427; -0,401 | 2,249; 0,9067; 0,8213 | 2,56 |
| 19 | -1,061; 0,4948; 0,438 | 2,173; -1,013; -0,897 | 2,56 |
| 20 | 1,061; -0,4948; -0,438 | -2,173; 1,013; 0,897 | 2,56 |
| 21 | 0,4764; 0,5469; -1,018 | -0,9757; -1,12; 2,085 | 2,56 |
| 22 | -0,4764; -0,5469; 1,018 | 0,9757; 1,12; -2,085 | 2,56 |
| 23 | 0,3284; 0,599; 1,047 | -0,6725; -1,227; -2,144 | 2,56 |
| 24 | -0,3284; -0,599; -1,047 | 0,6725; 1,227; 2,144 | 2,56 |
| 25 | -0,9232; 0,651; -0,535 | 1,891; -1,333; 1,096 | 2,56 |
| 26 | 0,9232; -0,651; 0,535 | -1,891; 1,333; -1,096 | 2,56 |
| 27 | 1,009; 0,7031; -0,2219 | -2,067; -1,44; 0,4545 | 2,56 |
| 28 | -1,009; -0,7031; 0,2219 | 2,067; 1,44; -0,4545 | 2,56 |
| 29 | -0,5729; 0,7552; 0,8148 | 1,173; -1,547; -1,669 | 2,56 |
| 30 | 0,5729; -0,7552; -0,8148 | -1,173; 1,547; 1,669 | 2,56 |
| 31 | -0,1226; 0,8073; -0,9464 | 0,2512; -1,653; 1,938 | 2,56 |
| 32 | 0,1226; -0,8073; 0,9464 | -0,2512; 1,653; -1,938 | 2,56 |
| 33 | 0,6941; 0,8594; 0,585 | -1,422; -1,76; -1,198 | 2,56 |
| 34 | -0,6941; -0,8594; -0,585 | 1,422; 1,76; 1,198 | 2,56 |
| 35 | -0,8547; 0,9115; 0,03534 | 1,75; -1,867; -0,07238 | 2,56 |
| 36 | 0,8547; -0,9115; -0,03534 | -1,75; 1,867; 0,07238 | 2,56 |
| 37 | 0,5644; 0,9635; -0,5617 | -1,156; -1,973; 1,15 | 2,56 |
| 38 | -0,5644; -0,9635; 0,5617 | 1,156; 1,973; -1,15 | 2,56 |
| 39 | -0,03366; 1,016; 0,7279 | 0,06894; -2,08; -1,491 | 2,56 |
| 40 | 0,03366; -1,016; -0,7279 | -0,06894; 2,08; 1,491 | 2,56 |
| 41 | -0,4165; 1,068; -0,4991 | 0,8529; -2,187; 1,022 | 2,56 |
| 42 | 0,4165; -1,068; 0,4991 | -0,8529; 2,187; -1,022 | 2,56 |
| 43 | 0,5505; 1,12; 0,07407 | -1,127; -2,293; -0,1517 | 2,56 |
| 44 | -0,5505; -1,12; -0,07407 | 1,127; 2,293; 0,1517 | 2,56 |
| 45 | -0,3571; 1,172; 0,2484 | 0,7313; -2,4; -0,5088 | 2,56 |
| 46 | 0,3571; -1,172; -0,2484 | -0,7313; 2,4; 0,5088 | 2,56 |
| 47 | 0,05571; 1,224; -0,2476 | -0,1141; -2,507; 0,5072 | 2,56 |
| 48 | -0,05571; -1,224; 0,2476 | 0,1141; 2,507; -0,5072 | 2,56 |
| 49 | 2,05; 0,04271; 0 | -0,9516; -0,01983; 0 | 0,9518 |
| 50 | -2,05; -0,04271; 0 | 0,9516; 0,01983; 0 | 0,9518 |
| 51 | -1,509; 0,1281; 1,382 | 0,7005; -0,05949; -0,6417 | 0,9518 |
| 52 | 1,509; -0,1281; -1,382 | -0,7005; 0,05949; 0,6417 | 0,9518 |
| 53 | 0,1782; 0,2135; -2,031 | -0,08276; -0,09915; 0,943 | 0,9518 |
| 54 | -0,1782; -0,2135; 2,031 | 0,08276; 0,09915; -0,943 | 0,9518 |
| 55 | 1,234; 0,299; 1,609 | -0,5729; -0,1388; -0,7473 | 0,9518 |
| 56 | -1,234; -0,299; -1,609 | 0,5729; 0,1388; 0,7473 | 0,9518 |
| 57 | -1,983; 0,3844; -0,3507 | 0,9206; -0,1785; 0,1628 | 0,9518 |
| 58 | 1,983; -0,3844; 0,3507 | -0,9206; 0,1785; -0,1628 | 0,9518 |
| 59 | 1,684; 0,4698; -1,071 | -0,7817; -0,2181; 0,4973 | 0,9518 |
| 60 | -1,684; -0,4698; 1,071 | 0,7817; 0,2181; -0,4973 | 0,9518 |
| 61 | -0,5123; 0,5552; 1,906 | 0,2379; -0,2578; -0,8848 | 0,9518 |
| 62 | 0,5123; -0,5552; -1,906 | -0,2379; 0,2578; 0,8848 | 0,9518 |
| 63 | -0,8975; 0,6406; -1,728 | 0,4167; -0,2974; 0,8024 | 0,9518 |
| 64 | 0,8975; -0,6406; 1,728 | -0,4167; 0,2974; -0,8024 | 0,9518 |
| 65 | 1,801; 0,726; 0,6576 | -0,8361; -0,3371; -0,3053 | 0,9518 |
| 66 | -1,801; -0,726; -0,6576 | 0,8361; 0,3371; 0,3053 | 0,9518 |
| 67 | -1,74; 0,8115; 0,7183 | 0,8079; -0,3768; -0,3335 | 0,9518 |
| 68 | 1,74; -0,8115; -0,7183 | -0,8079; 0,3768; 0,3335 | 0,9518 |
| 69 | 0,7813; 0,8969; -1,67 | -0,3628; -0,4164; 0,7752 | 0,9518 |
| 70 | -0,7813; -0,8969; 1,67 | 0,3628; 0,4164; -0,7752 | 0,9518 |
| 71 | 0,5385; 0,9823; 1,717 | -0,25; -0,4561; -0,7971 | 0,9518 |
| 72 | -0,5385; -0,9823; -1,717 | 0,25; 0,4561; 0,7971 | 0,9518 |
| 73 | -1,514; 1,068; -0,8775 | 0,703; -0,4957; 0,4074 | 0,9518 |
| 74 | 1,514; -1,068; 0,8775 | -0,703; 0,4957; -0,4074 | 0,9518 |
| 75 | 1,655; 1,153; -0,3639 | -0,7686; -0,5354; 0,169 | 0,9518 |
| 76 | -1,655; -1,153; 0,3639 | 0,7686; 0,5354; -0,169 | 0,9518 |
| 77 | -0,9395; 1,239; 1,336 | 0,4362; -0,5751; -0,6205 | 0,9518 |
| 78 | 0,9395; -1,239; -1,336 | -0,4362; 0,5751; 0,6205 | 0,9518 |
| 79 | -0,2011; 1,324; -1,552 | 0,09339; -0,6147; 0,7207 | 0,9518 |
| 80 | 0,2011; -1,324; 1,552 | -0,09339; 0,6147; -0,7207 | 0,9518 |
| 81 | 1,138; 1,409; 0,9594 | -0,5285; -0,6544; -0,4454 | 0,9518 |
| 82 | -1,138; -1,409; -0,9594 | 0,5285; 0,6544; 0,4454 | 0,9518 |
| 83 | -1,402; 1,495; 0,05796 | 0,6508; -0,694; -0,02691 | 0,9518 |
| 84 | 1,402; -1,495; -0,05796 | -0,6508; 0,694; 0,02691 | 0,9518 |
| 85 | 0,9257; 1,58; -0,9212 | -0,4298; -0,7337; 0,4277 | 0,9518 |
| 86 | -0,9257; -1,58; 0,9212 | 0,4298; 0,7337; -0,4277 | 0,9518 |
| 87 | -0,0552; 1,666; 1,194 | 0,02563; -0,7733; -0,5543 | 0,9518 |
| 88 | 0,0552; -1,666; -1,194 | -0,02563; 0,7733; 0,5543 | 0,9518 |
| 89 | -0,683; 1,751; -0,8185 | 0,3171; -0,813; 0,38 | 0,9518 |
| 90 | 0,683; -1,751; 0,8185 | -0,3171; 0,813; -0,38 | 0,9518 |
| 91 | 0,9029; 1,836; 0,1215 | -0,4192; -0,8527; -0,0564 | 0,9518 |
| 92 | -0,9029; -1,836; -0,1215 | 0,4192; 0,8527; 0,0564 | 0,9518 |
| 93 | -0,5856; 1,922; 0,4074 | 0,2719; -0,8923; -0,1892 | 0,9518 |
| 94 | 0,5856; -1,922; -0,4074 | -0,2719; 0,8923; 0,1892 | 0,9518 |
| 95 | 0,09136; 2,007; -0,4061 | -0,04242; -0,932; 0,1886 | 0,9518 |
| 96 | -0,09136; -2,007; 0,4061 | 0,04242; 0,932; -0,1886 | 0,9518 |
Cet instantané newtonien suppose que la masse de chaque corps est répartie de la même façon dans toutes les directions depuis son centre. Il montre seulement le champ extérieur, pas la courbure de l’espace-temps. Les corps restent fixes ; leur mouvement n’est pas simulé.
Leçon 1 sur 3
Dérivées, intégrales et changement local
Comment un taux infinitésimal produit-il une histoire finie et mesurable ?
Une dérivée est une approximation linéaire locale : la vitesse est dx/dt, l'accélération est d²x/dt², et le gradient d'un champ donne le changement local le plus raide.
Une intégrale accumule des contributions locales. Le déplacement accumule la vitesse ; le travail accumule la force le long d'un chemin ; la probabilité accumule la densité sur une région.
Exemple résolu
Une particule a v(t)=3t² m/s. Trouvez le déplacement de t=0 à 2 s.
- 1. Intégrez v par rapport au temps.
- 2. ∫₀²3t²dt = [t³]₀².
- 3. Évaluez 8−0.
Le déplacement vaut 8 m.
Essayez
Dualité pente-aire
Matériel : Du papier quadrillé ou un carnet de tracé.
- 1. Tracez x=t³.
- 2. Estimez les pentes des tangentes.
- 3. Tracez v=3t².
- 4. Estimez l'aire sous v et comparez-la aux variations de x.
Observez : Dérivation et intégration relient une même histoire physique de deux façons complémentaires.
Vérifiez votre compréhension : Que représente ∫F·dr ?
Réponse : Le travail transféré par une force le long d'un chemin.
Le produit scalaire ne retient que la composante parallèle à chaque élément de déplacement.
Leçon 2 sur 3
Champs de vecteurs, flux et circulation
Comment des flèches locales encodent-elles sources, puits et rotation ?
Le gradient cartographie la variation d'un scalaire, la divergence mesure le flux sortant local et le rotationnel mesure la circulation locale. Ces opérateurs rendent les équations de Maxwell compactes.
Les théorèmes intégraux relient des énoncés différentiels locaux à des flux et à des circulations mesurables sur des frontières.
Exemple résolu
Pour F=(x,y,z), calculez ∇·F.
- 1. Dérivez Fx par rapport à x : 1.
- 2. Dérivez Fy par rapport à y : 1.
- 3. Dérivez Fz par rapport à z : 1.
∇·F=3, une densité de source positive uniforme dans ce champ mathématique.
Essayez
Croquis de topologie de champ
Matériel : Du papier et plusieurs formules de champs de vecteurs.
- 1. Échantillonnez des flèches sur une grille.
- 2. Marquez les régions de divergence positive ou négative.
- 3. Parcourez une petite boucle pour tester la circulation.
- 4. Comparez les descriptions locale et au bord.
Observez : Une image peut suggérer la topologie, tandis que les dérivées la quantifient.
Vérifiez votre compréhension : Que garantit une divergence nulle ?
Réponse : Aucune source ni aucun puits net localement ; cela ne garantit pas que le champ soit nul ni sans rotationnel.
Un champ à divergence nulle peut tout de même circuler.
Leçon 3 sur 3
Équations différentielles, modes et calcul numérique
Comment des lois assorties de conditions initiales engendrent-elles trajectoires et spectres ?
Une équation différentielle précise comment un état change. Les conditions initiales ou aux limites sélectionnent une solution dans une famille.
Les systèmes linéaires se décomposent en modes ; l'analyse de Fourier représente des signaux complexes comme des composantes fréquentielles. L'avance numérique pas à pas approche les systèmes sans solution analytique.
Exemple résolu
Résolvez dx/dt=−kx avec x(0)=x₀.
- 1. Séparez les variables : dx/x=−kdt.
- 2. Intégrez : ln x=−kt+C.
- 3. Appliquez x(0)=x₀.
x(t)=x₀e⁻ᵏᵗ, la forme universelle de relaxation exponentielle.
Essayez
Décroissance : Euler contre solution exacte
Matériel : Un tableur ou un carnet de code.
- 1. Choisissez k et x₀.
- 2. Avancez avec xₙ₊₁=xₙ−k xₙΔt.
- 3. Comparez à x₀e⁻ᵏᵗ.
- 4. Réduisez Δt et mesurez l'erreur.
Observez : Les réponses numériques convergent seulement si le pas est assez petit et si le schéma est stable.
Vérifiez votre compréhension : Pourquoi les conditions aux limites sont-elles essentielles dans un problème de modes de cavité ?
Réponse : Elles sélectionnent quelles solutions de l'équation de champ sont autorisées.
L'équation différentielle seule permet une famille plus large que ne l'autorise la géométrie physique.
De la formule au sens
Lisez l'équation en langage courant.
v=dx/dt; a=d²x/dt²
Les dérivées temporelles successives transforment la position en vitesse puis en accélération.
∇f; ∇·F; ∇×F
Gradient, divergence et rotationnel quantifient la variation d'un scalaire, les sources de flux et la circulation.
dy/dt=f(t,y)
Une équation différentielle du premier ordre engendre l'évolution de l'état à partir des données initiales.
Pratique autonome
Série d'exercices
Travaillez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice et la solution.
1. Dérivez deux fois x(t)=A cos(ωt) et identifiez l'équation qu'elle satisfait.
Voir l'indice
Chaque dérivation apporte un facteur ω et alterne sinus et cosinus.
Voir la solution
x¨=−ω²x, donc x¨+ω²x=0.
2. Calculez le gradient de f=x²+y²+z².
Voir l'indice
Dérivez une fois par rapport à chaque coordonnée.
Voir la solution
∇f=(2x,2y,2z).
3. Estimez un pas d'Euler pour dy/dt=−2y, y(0)=1, Δt=0,1.
Voir l'indice
y₁=y₀+f(y₀)Δt.
Voir la solution
y₁=1−2(1)(0,1)=0,8.
Atelier de dérivation
Construisez le résultat, ligne par ligne.
Gardez les hypothèses visibles pour que les mathématiques restent vérifiables.
Point de départ
Le mouvement harmonique simple à partir de la loi de Hooke
F=−kx et F=ma
- 1. Posez m x¨=−kx.
- 2. Divisez par m : x¨+(k/m)x=0.
- 3. Essayez x=A cos(ωt+φ).
- 4. Identifiez les coefficients pour obtenir ω²=k/m.
x(t)=A cos(√(k/m)t+φ)
Une force de rappel locale engendre une trajectoire périodique globale ; les conditions initiales fixent l'amplitude et la phase.
Point de départ
L'équation d'onde à partir d'une corde tendue
Bilan des forces transversales sur un court élément de corde
- 1. Utilisez les composantes de la tension aux deux extrémités, en petite pente.
- 2. La force transversale nette vaut T(∂²y/∂x²)Δx.
- 3. La masse de l'élément vaut μΔx.
- 4. Appliquez la loi de Newton et simplifiez par Δx.
∂²y/∂t²=(T/μ)∂²y/∂x²
La vitesse d'onde c=√(T/μ) émerge de la tension de rappel et de l'inertie par unité de longueur.
Carnet de calcul
Transformez le modèle en expérience.
Laboratoire numérique de l'oscillateur
Quand l'intégration d'Euler déforme-t-elle l'énergie conservée d'un oscillateur ?
Entrées
- • m, k, x et v initiaux
- • pas de temps Δt
- • choix entre Euler et Euler symplectique
Algorithme
- 1. Intégrez la position et la vitesse.
- 2. Calculez K+U à chaque pas.
- 3. Recommencez pour plusieurs Δt.
- 4. Comparez la dérive de phase et celle d'énergie.
Preuves à produire
- • Tracés de trajectoire et d'espace des phases
- • Erreur relative d'énergie en fonction du temps
- • Une recommandation justifiée de pas stable
Poursuivez vers les preuves
Lecture suivante, avec ses sources
Cours 1 : Qu'est-ce qu'une métrique ?
Coordonnées, règles de mesure locales et nécessité des mathématiques tensorielles.
Cours 7 : La théorie quantique des champs et le vide
Modes, spectres et conditions aux limites des équations différentielles.
Graphe de connaissances (en anglais)
Suivez où chaque outil mathématique entre dans le corpus de physique.
Chapitre 4 : Le tenseur métrique et le moteur de distorsion
Là où le calcul vectoriel et les équations différentielles de ce parcours servent.