Cálculo, vetores e equações diferenciais
Construa a linguagem matemática que transforma histórias físicas em leis locais e trajetórias testáveis.
Conecte derivadas, integrais, campos vetoriais, álgebra linear, modos de Fourier e equações diferenciais aos caminhos de mecânica, campos, relatividade e quântica do site.
Antes de começar
- • Mecânica do Nível 2
- • Álgebra, trigonometria e funções
- • Familiaridade com a leitura de gráficos
Ao final, você consegue
- • Interpretar derivadas e integrais fisicamente.
- • Calcular com vetores, matrizes, gradientes, divergente e rotacional.
- • Resolver equações diferenciais representativas de primeira e de segunda ordem.
- • Usar análise dimensional, escalonamento e integração numérica para testar um modelo.
Modelo interativo
Explore antes de calcular
Um campo vetorial atribui um vetor a cada posição. Estas setas de aceleração newtoniana mostram apenas a direção; a magnitude aparece nos valores de cada ponto. As duas massas contribuem na vista de dois corpos.
A gravidade não tem um «para baixo» universal
Imagine pequenos objetos de teste ao redor das massas. Cada seta mostra a direção em que a gravidade muda o movimento de um objeto, não a trajetória que ele segue.
Fora de uma massa esférica, a gravidade aponta para seu centro em todas as direções.
Todas as setas não nulas têm o mesmo comprimento em 3D: elas mostram apenas a direção. A intensidade aparece nos valores de cada ponto. Uma seta pode parecer mais curta quando aponta para seu ponto de vista ou para longe dele. As setas mais claras estão na metade mais distante da cena; isso não indica uma gravidade mais fraca.
Experimente: onde fica o baixo?
- Escolha uma massa. Preveja para onde apontam as setas do lado mais distante e gire a vista para conferir. Olhe de cima e de baixo: as setas continuam apontando para a massa?
- Escolha duas massas e gire a vista novamente. Cada seta agora combina as duas atrações; não precisa apontar para nenhum dos centros. A massa menor também contribui.
Girar a vista mudou a gravidade ou apenas sua maneira de vê-la?
Confira sua resposta
Só mudou seu ponto de vista. As massas e a atração em cada ponto continuaram iguais. Não existe um fundo embaixo de toda a cena.
Ponto selecionado · Unidades em escala para aprendizagem
x, y e z são coordenadas da cena, não um acima ou abaixo universal.
- Posição (x, y, z)
- 1,25; 0,02604; 0
- Aceleração (x, y, z)
- -2,559; -0,05333; 0
- Intensidade
- 2,56
Massas neste retrato
- A: Massa 4; Raio 0,64; Centro (0; 0; 0)
Valores de todos os pontos
| Ponto | Posição (x, y, z) | Aceleração (x, y, z) | Intensidade |
|---|---|---|---|
| 1 | 1,25; 0,02604; 0 | -2,559; -0,05333; 0 | 2,56 |
| 2 | -1,25; -0,02604; 0 | 2,559; 0,05333; 0 | 2,56 |
| 3 | -0,9199; 0,07813; 0,8427 | 1,884; -0,16; -1,726 | 2,56 |
| 4 | 0,9199; -0,07813; -0,8427 | -1,884; 0,16; 1,726 | 2,56 |
| 5 | 0,1087; 0,1302; -1,238 | -0,2226; -0,2667; 2,536 | 2,56 |
| 6 | -0,1087; -0,1302; 1,238 | 0,2226; 0,2667; -2,536 | 2,56 |
| 7 | 0,7524; 0,1823; 0,9814 | -1,541; -0,3733; -2,01 | 2,56 |
| 8 | -0,7524; -0,1823; -0,9814 | 1,541; 0,3733; 2,01 | 2,56 |
| 9 | -1,209; 0,2344; -0,2139 | 2,476; -0,48; 0,438 | 2,56 |
| 10 | 1,209; -0,2344; 0,2139 | -2,476; 0,48; -0,438 | 2,56 |
| 11 | 1,027; 0,2865; -0,6531 | -2,103; -0,5867; 1,337 | 2,56 |
| 12 | -1,027; -0,2865; 0,6531 | 2,103; 0,5867; -1,337 | 2,56 |
| 13 | -0,3124; 0,3385; 1,162 | 0,6397; -0,6933; -2,38 | 2,56 |
| 14 | 0,3124; -0,3385; -1,162 | -0,6397; 0,6933; 2,38 | 2,56 |
| 15 | -0,5473; 0,3906; -1,054 | 1,121; -0,8; 2,158 | 2,56 |
| 16 | 0,5473; -0,3906; 1,054 | -1,121; 0,8; -2,158 | 2,56 |
| 17 | 1,098; 0,4427; 0,401 | -2,249; -0,9067; -0,8213 | 2,56 |
| 18 | -1,098; -0,4427; -0,401 | 2,249; 0,9067; 0,8213 | 2,56 |
| 19 | -1,061; 0,4948; 0,438 | 2,173; -1,013; -0,897 | 2,56 |
| 20 | 1,061; -0,4948; -0,438 | -2,173; 1,013; 0,897 | 2,56 |
| 21 | 0,4764; 0,5469; -1,018 | -0,9757; -1,12; 2,085 | 2,56 |
| 22 | -0,4764; -0,5469; 1,018 | 0,9757; 1,12; -2,085 | 2,56 |
| 23 | 0,3284; 0,599; 1,047 | -0,6725; -1,227; -2,144 | 2,56 |
| 24 | -0,3284; -0,599; -1,047 | 0,6725; 1,227; 2,144 | 2,56 |
| 25 | -0,9232; 0,651; -0,535 | 1,891; -1,333; 1,096 | 2,56 |
| 26 | 0,9232; -0,651; 0,535 | -1,891; 1,333; -1,096 | 2,56 |
| 27 | 1,009; 0,7031; -0,2219 | -2,067; -1,44; 0,4545 | 2,56 |
| 28 | -1,009; -0,7031; 0,2219 | 2,067; 1,44; -0,4545 | 2,56 |
| 29 | -0,5729; 0,7552; 0,8148 | 1,173; -1,547; -1,669 | 2,56 |
| 30 | 0,5729; -0,7552; -0,8148 | -1,173; 1,547; 1,669 | 2,56 |
| 31 | -0,1226; 0,8073; -0,9464 | 0,2512; -1,653; 1,938 | 2,56 |
| 32 | 0,1226; -0,8073; 0,9464 | -0,2512; 1,653; -1,938 | 2,56 |
| 33 | 0,6941; 0,8594; 0,585 | -1,422; -1,76; -1,198 | 2,56 |
| 34 | -0,6941; -0,8594; -0,585 | 1,422; 1,76; 1,198 | 2,56 |
| 35 | -0,8547; 0,9115; 0,03534 | 1,75; -1,867; -0,07238 | 2,56 |
| 36 | 0,8547; -0,9115; -0,03534 | -1,75; 1,867; 0,07238 | 2,56 |
| 37 | 0,5644; 0,9635; -0,5617 | -1,156; -1,973; 1,15 | 2,56 |
| 38 | -0,5644; -0,9635; 0,5617 | 1,156; 1,973; -1,15 | 2,56 |
| 39 | -0,03366; 1,016; 0,7279 | 0,06894; -2,08; -1,491 | 2,56 |
| 40 | 0,03366; -1,016; -0,7279 | -0,06894; 2,08; 1,491 | 2,56 |
| 41 | -0,4165; 1,068; -0,4991 | 0,8529; -2,187; 1,022 | 2,56 |
| 42 | 0,4165; -1,068; 0,4991 | -0,8529; 2,187; -1,022 | 2,56 |
| 43 | 0,5505; 1,12; 0,07407 | -1,127; -2,293; -0,1517 | 2,56 |
| 44 | -0,5505; -1,12; -0,07407 | 1,127; 2,293; 0,1517 | 2,56 |
| 45 | -0,3571; 1,172; 0,2484 | 0,7313; -2,4; -0,5088 | 2,56 |
| 46 | 0,3571; -1,172; -0,2484 | -0,7313; 2,4; 0,5088 | 2,56 |
| 47 | 0,05571; 1,224; -0,2476 | -0,1141; -2,507; 0,5072 | 2,56 |
| 48 | -0,05571; -1,224; 0,2476 | 0,1141; 2,507; -0,5072 | 2,56 |
| 49 | 2,05; 0,04271; 0 | -0,9516; -0,01983; 0 | 0,9518 |
| 50 | -2,05; -0,04271; 0 | 0,9516; 0,01983; 0 | 0,9518 |
| 51 | -1,509; 0,1281; 1,382 | 0,7005; -0,05949; -0,6417 | 0,9518 |
| 52 | 1,509; -0,1281; -1,382 | -0,7005; 0,05949; 0,6417 | 0,9518 |
| 53 | 0,1782; 0,2135; -2,031 | -0,08276; -0,09915; 0,943 | 0,9518 |
| 54 | -0,1782; -0,2135; 2,031 | 0,08276; 0,09915; -0,943 | 0,9518 |
| 55 | 1,234; 0,299; 1,609 | -0,5729; -0,1388; -0,7473 | 0,9518 |
| 56 | -1,234; -0,299; -1,609 | 0,5729; 0,1388; 0,7473 | 0,9518 |
| 57 | -1,983; 0,3844; -0,3507 | 0,9206; -0,1785; 0,1628 | 0,9518 |
| 58 | 1,983; -0,3844; 0,3507 | -0,9206; 0,1785; -0,1628 | 0,9518 |
| 59 | 1,684; 0,4698; -1,071 | -0,7817; -0,2181; 0,4973 | 0,9518 |
| 60 | -1,684; -0,4698; 1,071 | 0,7817; 0,2181; -0,4973 | 0,9518 |
| 61 | -0,5123; 0,5552; 1,906 | 0,2379; -0,2578; -0,8848 | 0,9518 |
| 62 | 0,5123; -0,5552; -1,906 | -0,2379; 0,2578; 0,8848 | 0,9518 |
| 63 | -0,8975; 0,6406; -1,728 | 0,4167; -0,2974; 0,8024 | 0,9518 |
| 64 | 0,8975; -0,6406; 1,728 | -0,4167; 0,2974; -0,8024 | 0,9518 |
| 65 | 1,801; 0,726; 0,6576 | -0,8361; -0,3371; -0,3053 | 0,9518 |
| 66 | -1,801; -0,726; -0,6576 | 0,8361; 0,3371; 0,3053 | 0,9518 |
| 67 | -1,74; 0,8115; 0,7183 | 0,8079; -0,3768; -0,3335 | 0,9518 |
| 68 | 1,74; -0,8115; -0,7183 | -0,8079; 0,3768; 0,3335 | 0,9518 |
| 69 | 0,7813; 0,8969; -1,67 | -0,3628; -0,4164; 0,7752 | 0,9518 |
| 70 | -0,7813; -0,8969; 1,67 | 0,3628; 0,4164; -0,7752 | 0,9518 |
| 71 | 0,5385; 0,9823; 1,717 | -0,25; -0,4561; -0,7971 | 0,9518 |
| 72 | -0,5385; -0,9823; -1,717 | 0,25; 0,4561; 0,7971 | 0,9518 |
| 73 | -1,514; 1,068; -0,8775 | 0,703; -0,4957; 0,4074 | 0,9518 |
| 74 | 1,514; -1,068; 0,8775 | -0,703; 0,4957; -0,4074 | 0,9518 |
| 75 | 1,655; 1,153; -0,3639 | -0,7686; -0,5354; 0,169 | 0,9518 |
| 76 | -1,655; -1,153; 0,3639 | 0,7686; 0,5354; -0,169 | 0,9518 |
| 77 | -0,9395; 1,239; 1,336 | 0,4362; -0,5751; -0,6205 | 0,9518 |
| 78 | 0,9395; -1,239; -1,336 | -0,4362; 0,5751; 0,6205 | 0,9518 |
| 79 | -0,2011; 1,324; -1,552 | 0,09339; -0,6147; 0,7207 | 0,9518 |
| 80 | 0,2011; -1,324; 1,552 | -0,09339; 0,6147; -0,7207 | 0,9518 |
| 81 | 1,138; 1,409; 0,9594 | -0,5285; -0,6544; -0,4454 | 0,9518 |
| 82 | -1,138; -1,409; -0,9594 | 0,5285; 0,6544; 0,4454 | 0,9518 |
| 83 | -1,402; 1,495; 0,05796 | 0,6508; -0,694; -0,02691 | 0,9518 |
| 84 | 1,402; -1,495; -0,05796 | -0,6508; 0,694; 0,02691 | 0,9518 |
| 85 | 0,9257; 1,58; -0,9212 | -0,4298; -0,7337; 0,4277 | 0,9518 |
| 86 | -0,9257; -1,58; 0,9212 | 0,4298; 0,7337; -0,4277 | 0,9518 |
| 87 | -0,0552; 1,666; 1,194 | 0,02563; -0,7733; -0,5543 | 0,9518 |
| 88 | 0,0552; -1,666; -1,194 | -0,02563; 0,7733; 0,5543 | 0,9518 |
| 89 | -0,683; 1,751; -0,8185 | 0,3171; -0,813; 0,38 | 0,9518 |
| 90 | 0,683; -1,751; 0,8185 | -0,3171; 0,813; -0,38 | 0,9518 |
| 91 | 0,9029; 1,836; 0,1215 | -0,4192; -0,8527; -0,0564 | 0,9518 |
| 92 | -0,9029; -1,836; -0,1215 | 0,4192; 0,8527; 0,0564 | 0,9518 |
| 93 | -0,5856; 1,922; 0,4074 | 0,2719; -0,8923; -0,1892 | 0,9518 |
| 94 | 0,5856; -1,922; -0,4074 | -0,2719; 0,8923; 0,1892 | 0,9518 |
| 95 | 0,09136; 2,007; -0,4061 | -0,04242; -0,932; 0,1886 | 0,9518 |
| 96 | -0,09136; -2,007; 0,4061 | 0,04242; 0,932; -0,1886 | 0,9518 |
Este retrato newtoniano supõe que a massa de cada corpo se distribui da mesma forma em todas as direções a partir do centro. Ele mostra apenas o campo externo, não a curvatura do espaço-tempo. Os corpos ficam fixos; seu movimento não é simulado.
Lição 1 de 3
Derivadas, integrais e mudança local
Como uma taxa infinitesimal produz uma história finita e mensurável?
Uma derivada é uma aproximação linear local: a velocidade é dx/dt, a aceleração é d²x/dt², e o gradiente de um campo dá a mudança local mais acentuada.
Uma integral acumula contribuições locais. O deslocamento acumula velocidade; o trabalho acumula força ao longo de um caminho; a probabilidade acumula densidade sobre uma região.
Exemplo resolvido
Uma partícula tem v(t)=3t² m/s. Encontre o deslocamento de t=0 a 2 s.
- 1. Integre v no tempo.
- 2. ∫₀²3t²dt = [t³]₀².
- 3. Avalie 8−0.
O deslocamento é 8 m.
Experimente
A dualidade inclinação-área
Materiais: Papel quadriculado ou um caderno de gráficos.
- 1. Trace x=t³.
- 2. Estime as inclinações das tangentes.
- 3. Trace v=3t².
- 4. Estime a área sob v e compare com as variações de x.
Repare: Derivação e integração conectam uma mesma história física de duas maneiras complementares.
Verifique o que entendeu: O que ∫F·dr representa?
Resposta: O trabalho transferido por uma força ao longo de um caminho.
O produto escalar mantém a componente paralela a cada elemento de deslocamento.
Lição 2 de 3
Campos vetoriais, fluxo e circulação
Como setas locais codificam fontes, sumidouros e rotação?
O gradiente mapeia a mudança escalar, o divergente mede o fluxo local para fora, e o rotacional mede a circulação local. Esses operadores deixam as equações de Maxwell compactas.
Os teoremas integrais conectam afirmações diferenciais locais a fluxos e circuitos de fronteira mensuráveis.
Exemplo resolvido
Para F=(x,y,z), calcule ∇·F.
- 1. Derive Fx em relação a x: 1.
- 2. Derive Fy em relação a y: 1.
- 3. Derive Fz em relação a z: 1.
∇·F=3, uma densidade de fonte positiva e uniforme neste campo matemático.
Experimente
Esboço de topologia de campo
Materiais: Papel e várias fórmulas de campos vetoriais.
- 1. Amostre setas sobre uma grade.
- 2. Marque as regiões de divergente positivo ou negativo.
- 3. Percorra um pequeno circuito para testar a circulação.
- 4. Compare as descrições local e de fronteira.
Repare: Um desenho pode sugerir a topologia, enquanto as derivadas a quantificam.
Verifique o que entendeu: O que o divergente nulo garante?
Resposta: Que não há fonte nem sumidouro líquido local; isso não garante que o campo seja zero nem que o rotacional seja nulo.
Um campo com divergente nulo ainda pode circular.
Lição 3 de 3
Equações diferenciais, modos e computação
Como as leis mais as condições iniciais geram trajetórias e espectros?
Uma equação diferencial especifica como um estado muda. Condições iniciais ou de contorno selecionam uma solução dentro de uma família.
Sistemas lineares se decompõem em modos; a análise de Fourier representa sinais complexos como componentes de frequência. O avanço numérico aproxima sistemas sem solução fechada.
Exemplo resolvido
Resolva dx/dt=−kx com x(0)=x₀.
- 1. Separe as variáveis: dx/x=−kdt.
- 2. Integre: ln x=−kt+C.
- 3. Aplique x(0)=x₀.
x(t)=x₀e⁻ᵏᵗ, a forma universal de relaxação exponencial.
Experimente
Euler versus decaimento exato
Materiais: Planilha ou caderno de código.
- 1. Escolha k e x₀.
- 2. Avance com xₙ₊₁=xₙ−k xₙΔt.
- 3. Compare com x₀e⁻ᵏᵗ.
- 4. Reduza Δt e meça o erro.
Repare: Respostas numéricas só convergem quando o passo é pequeno o bastante e o esquema é estável.
Verifique o que entendeu: Por que as condições de contorno são essenciais num problema de modos de cavidade?
Resposta: Elas selecionam quais soluções da equação de campo são permitidas.
A equação diferencial sozinha permite uma família mais ampla do que a geometria física.
Da fórmula ao significado
Leia a equação em linguagem comum.
v=dx/dt; a=d²x/dt²
Derivadas temporais sucessivas transformam posição em velocidade e em aceleração.
∇f; ∇·F; ∇×F
Gradiente, divergente e rotacional quantificam a mudança escalar, as fontes de fluxo e a circulação.
dy/dt=f(t,y)
Uma equação diferencial de primeira ordem gera a evolução do estado a partir dos dados iniciais.
Prática independente
Lista de problemas
Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.
1. Derive x(t)=A cos(ωt) duas vezes e identifique a equação que ela satisfaz.
Ver a dica
Cada derivada traz um fator ω e alterna entre seno e cosseno.
Ver a solução
x¨=−ω²x, portanto x¨+ω²x=0.
2. Calcule o gradiente de f=x²+y²+z².
Ver a dica
Derive uma vez em relação a cada coordenada.
Ver a solução
∇f=(2x,2y,2z).
3. Estime um passo de Euler para dy/dt=−2y, y(0)=1, Δt=0,1.
Ver a dica
y₁=y₀+f(y₀)Δt.
Ver a solução
y₁=1−2(1)(0,1)=0,8.
Estúdio de derivação
Construa o resultado, linha por linha.
Mantenha as suposições à vista para que a matemática continue auditável.
Ponto de partida
Movimento harmônico simples a partir da lei de Hooke
F=−kx e F=ma
- 1. Escreva m x¨=−kx.
- 2. Divida por m: x¨+(k/m)x=0.
- 3. Teste x=A cos(ωt+φ).
- 4. Compare os coeficientes para obter ω²=k/m.
x(t)=A cos(√(k/m)t+φ)
Uma força restauradora local gera uma trajetória periódica global; as condições iniciais fixam a amplitude e a fase.
Ponto de partida
Equação da onda a partir de uma corda esticada
Balanço de forças transversais em um pequeno elemento de corda
- 1. Use as componentes de tensão de pequena inclinação nas duas extremidades.
- 2. A força transversal resultante é T(∂²y/∂x²)Δx.
- 3. A massa do elemento é μΔx.
- 4. Aplique a lei de Newton e cancele Δx.
∂²y/∂t²=(T/μ)∂²y/∂x²
A velocidade da onda c=√(T/μ) emerge da tensão restauradora e da inércia por comprimento.
Caderno computacional
Transforme o modelo em um experimento.
Laboratório numérico do oscilador
Quando a integração de Euler distorce a energia conservada de um oscilador?
Entradas
- • m, k, x e v iniciais
- • passo de tempo Δt
- • escolhas entre Euler e Euler simplético
Algoritmo
- 1. Integre posição e velocidade.
- 2. Calcule K+U a cada passo.
- 3. Repita para vários Δt.
- 4. Compare a deriva de fase e a de energia.
Evidência a produzir
- • Gráficos de trajetória e de espaço de fase
- • Erro relativo de energia versus tempo
- • Uma recomendação justificada de passo estável
Siga para a evidência
Próxima leitura, com as fontes
Aula 1: O que é uma métrica?
Coordenadas, regras locais de medição e a necessidade da matemática tensorial.
Aula 7: Teoria quântica de campos e o vácuo
Modos, espectros e condições de contorno de equações diferenciais.
Grafo de conhecimento (em inglês)
Acompanhe onde cada ferramenta matemática entra no corpo da física.
Capítulo 4: O tensor métrico e o motor de dobra
Onde o cálculo vetorial e as equações diferenciais deste curso são usados.