Rachunek różniczkowy, wektory i równania różniczkowe
Zbuduj język matematyczny, który zamienia opowieści o fizyce w lokalne prawa i sprawdzalne trajektorie.
Połącz pochodne, całki, pola wektorowe, algebrę liniową, mody Fouriera i równania różniczkowe ze ścieżkami mechaniki, pól, teorii względności i fizyki kwantowej w tym serwisie.
Zanim zaczniesz
- • Mechanika z poziomu 2
- • Algebra, trygonometria i funkcje
- • Swoboda w czytaniu wykresów
Na koniec będziesz umieć
- • Interpretować fizycznie pochodne i całki.
- • Rachować na wektorach, macierzach, gradientach, dywergencji i rotacji.
- • Rozwiązywać reprezentatywne równania różniczkowe pierwszego i drugiego rzędu.
- • Testować model za pomocą analizy wymiarowej, skalowania i całkowania numerycznego.
Model interaktywny
Zbadaj, zanim policzysz
Pole wektorowe przypisuje wektor każdemu położeniu. Te strzałki przyspieszenia newtonowskiego pokazują tylko kierunek; wartość odczytaj dla wybranego punktu. W widoku dwóch ciał obie masy mają swój udział.
Grawitacja nie ma uniwersalnego dołu
Wyobraź sobie małe obiekty próbne ze wszystkich stron mas. Każda strzałka pokazuje kierunek, w którym grawitacja zmienia ruch obiektu, a nie jego tor.
Na zewnątrz jednej masy kulistej grawitacja ze wszystkich stron jest skierowana ku jej środkowi.
Wszystkie niezerowe strzałki mają jednakową długość w 3D: pokazują tylko kierunek. Natężenie można odczytać z wartości w danym punkcie. Strzałka może wyglądać na krótszą, gdy jest skierowana w stronę obserwatora lub od niego. Jaśniejsze strzałki leżą w dalszej połowie sceny; nie oznaczają słabszej grawitacji.
Sprawdź: gdzie jest dół?
- Wybierz jedną masę. Przewidź, dokąd wskazują strzałki po jej dalszej stronie, a potem obróć widok i sprawdź. Spójrz z góry i z dołu: czy strzałki nadal wskazują w stronę masy?
- Wybierz dwie masy i znów obróć widok. Każda strzałka pokazuje teraz łączne przyciąganie obu mas; nie musi wskazywać środka żadnej z nich. Mniejsza masa też ma swój udział.
Czy obrót widoku zmienił grawitację, czy tylko sposób, w jaki ją widzisz?
Sprawdź odpowiedź
Zmienił się tylko twój punkt widzenia. Masy i przyciąganie w każdym punkcie pozostały takie same. Pod całą sceną nie ma żadnego wspólnego dołu.
Wybrany punkt · Jednostki przeskalowane do nauki
x, y i z to współrzędne sceny, a nie uniwersalna góra lub dół.
- Położenie (x, y, z)
- 1,25; 0,02604; 0
- Przyspieszenie (x, y, z)
- -2,559; -0,05333; 0
- Natężenie
- 2,56
Masy w tym obrazie
- A: Masa 4; Promień 0,64; Środek (0; 0; 0)
Wartości we wszystkich punktach
| Punkt | Położenie (x, y, z) | Przyspieszenie (x, y, z) | Natężenie |
|---|---|---|---|
| 1 | 1,25; 0,02604; 0 | -2,559; -0,05333; 0 | 2,56 |
| 2 | -1,25; -0,02604; 0 | 2,559; 0,05333; 0 | 2,56 |
| 3 | -0,9199; 0,07813; 0,8427 | 1,884; -0,16; -1,726 | 2,56 |
| 4 | 0,9199; -0,07813; -0,8427 | -1,884; 0,16; 1,726 | 2,56 |
| 5 | 0,1087; 0,1302; -1,238 | -0,2226; -0,2667; 2,536 | 2,56 |
| 6 | -0,1087; -0,1302; 1,238 | 0,2226; 0,2667; -2,536 | 2,56 |
| 7 | 0,7524; 0,1823; 0,9814 | -1,541; -0,3733; -2,01 | 2,56 |
| 8 | -0,7524; -0,1823; -0,9814 | 1,541; 0,3733; 2,01 | 2,56 |
| 9 | -1,209; 0,2344; -0,2139 | 2,476; -0,48; 0,438 | 2,56 |
| 10 | 1,209; -0,2344; 0,2139 | -2,476; 0,48; -0,438 | 2,56 |
| 11 | 1,027; 0,2865; -0,6531 | -2,103; -0,5867; 1,337 | 2,56 |
| 12 | -1,027; -0,2865; 0,6531 | 2,103; 0,5867; -1,337 | 2,56 |
| 13 | -0,3124; 0,3385; 1,162 | 0,6397; -0,6933; -2,38 | 2,56 |
| 14 | 0,3124; -0,3385; -1,162 | -0,6397; 0,6933; 2,38 | 2,56 |
| 15 | -0,5473; 0,3906; -1,054 | 1,121; -0,8; 2,158 | 2,56 |
| 16 | 0,5473; -0,3906; 1,054 | -1,121; 0,8; -2,158 | 2,56 |
| 17 | 1,098; 0,4427; 0,401 | -2,249; -0,9067; -0,8213 | 2,56 |
| 18 | -1,098; -0,4427; -0,401 | 2,249; 0,9067; 0,8213 | 2,56 |
| 19 | -1,061; 0,4948; 0,438 | 2,173; -1,013; -0,897 | 2,56 |
| 20 | 1,061; -0,4948; -0,438 | -2,173; 1,013; 0,897 | 2,56 |
| 21 | 0,4764; 0,5469; -1,018 | -0,9757; -1,12; 2,085 | 2,56 |
| 22 | -0,4764; -0,5469; 1,018 | 0,9757; 1,12; -2,085 | 2,56 |
| 23 | 0,3284; 0,599; 1,047 | -0,6725; -1,227; -2,144 | 2,56 |
| 24 | -0,3284; -0,599; -1,047 | 0,6725; 1,227; 2,144 | 2,56 |
| 25 | -0,9232; 0,651; -0,535 | 1,891; -1,333; 1,096 | 2,56 |
| 26 | 0,9232; -0,651; 0,535 | -1,891; 1,333; -1,096 | 2,56 |
| 27 | 1,009; 0,7031; -0,2219 | -2,067; -1,44; 0,4545 | 2,56 |
| 28 | -1,009; -0,7031; 0,2219 | 2,067; 1,44; -0,4545 | 2,56 |
| 29 | -0,5729; 0,7552; 0,8148 | 1,173; -1,547; -1,669 | 2,56 |
| 30 | 0,5729; -0,7552; -0,8148 | -1,173; 1,547; 1,669 | 2,56 |
| 31 | -0,1226; 0,8073; -0,9464 | 0,2512; -1,653; 1,938 | 2,56 |
| 32 | 0,1226; -0,8073; 0,9464 | -0,2512; 1,653; -1,938 | 2,56 |
| 33 | 0,6941; 0,8594; 0,585 | -1,422; -1,76; -1,198 | 2,56 |
| 34 | -0,6941; -0,8594; -0,585 | 1,422; 1,76; 1,198 | 2,56 |
| 35 | -0,8547; 0,9115; 0,03534 | 1,75; -1,867; -0,07238 | 2,56 |
| 36 | 0,8547; -0,9115; -0,03534 | -1,75; 1,867; 0,07238 | 2,56 |
| 37 | 0,5644; 0,9635; -0,5617 | -1,156; -1,973; 1,15 | 2,56 |
| 38 | -0,5644; -0,9635; 0,5617 | 1,156; 1,973; -1,15 | 2,56 |
| 39 | -0,03366; 1,016; 0,7279 | 0,06894; -2,08; -1,491 | 2,56 |
| 40 | 0,03366; -1,016; -0,7279 | -0,06894; 2,08; 1,491 | 2,56 |
| 41 | -0,4165; 1,068; -0,4991 | 0,8529; -2,187; 1,022 | 2,56 |
| 42 | 0,4165; -1,068; 0,4991 | -0,8529; 2,187; -1,022 | 2,56 |
| 43 | 0,5505; 1,12; 0,07407 | -1,127; -2,293; -0,1517 | 2,56 |
| 44 | -0,5505; -1,12; -0,07407 | 1,127; 2,293; 0,1517 | 2,56 |
| 45 | -0,3571; 1,172; 0,2484 | 0,7313; -2,4; -0,5088 | 2,56 |
| 46 | 0,3571; -1,172; -0,2484 | -0,7313; 2,4; 0,5088 | 2,56 |
| 47 | 0,05571; 1,224; -0,2476 | -0,1141; -2,507; 0,5072 | 2,56 |
| 48 | -0,05571; -1,224; 0,2476 | 0,1141; 2,507; -0,5072 | 2,56 |
| 49 | 2,05; 0,04271; 0 | -0,9516; -0,01983; 0 | 0,9518 |
| 50 | -2,05; -0,04271; 0 | 0,9516; 0,01983; 0 | 0,9518 |
| 51 | -1,509; 0,1281; 1,382 | 0,7005; -0,05949; -0,6417 | 0,9518 |
| 52 | 1,509; -0,1281; -1,382 | -0,7005; 0,05949; 0,6417 | 0,9518 |
| 53 | 0,1782; 0,2135; -2,031 | -0,08276; -0,09915; 0,943 | 0,9518 |
| 54 | -0,1782; -0,2135; 2,031 | 0,08276; 0,09915; -0,943 | 0,9518 |
| 55 | 1,234; 0,299; 1,609 | -0,5729; -0,1388; -0,7473 | 0,9518 |
| 56 | -1,234; -0,299; -1,609 | 0,5729; 0,1388; 0,7473 | 0,9518 |
| 57 | -1,983; 0,3844; -0,3507 | 0,9206; -0,1785; 0,1628 | 0,9518 |
| 58 | 1,983; -0,3844; 0,3507 | -0,9206; 0,1785; -0,1628 | 0,9518 |
| 59 | 1,684; 0,4698; -1,071 | -0,7817; -0,2181; 0,4973 | 0,9518 |
| 60 | -1,684; -0,4698; 1,071 | 0,7817; 0,2181; -0,4973 | 0,9518 |
| 61 | -0,5123; 0,5552; 1,906 | 0,2379; -0,2578; -0,8848 | 0,9518 |
| 62 | 0,5123; -0,5552; -1,906 | -0,2379; 0,2578; 0,8848 | 0,9518 |
| 63 | -0,8975; 0,6406; -1,728 | 0,4167; -0,2974; 0,8024 | 0,9518 |
| 64 | 0,8975; -0,6406; 1,728 | -0,4167; 0,2974; -0,8024 | 0,9518 |
| 65 | 1,801; 0,726; 0,6576 | -0,8361; -0,3371; -0,3053 | 0,9518 |
| 66 | -1,801; -0,726; -0,6576 | 0,8361; 0,3371; 0,3053 | 0,9518 |
| 67 | -1,74; 0,8115; 0,7183 | 0,8079; -0,3768; -0,3335 | 0,9518 |
| 68 | 1,74; -0,8115; -0,7183 | -0,8079; 0,3768; 0,3335 | 0,9518 |
| 69 | 0,7813; 0,8969; -1,67 | -0,3628; -0,4164; 0,7752 | 0,9518 |
| 70 | -0,7813; -0,8969; 1,67 | 0,3628; 0,4164; -0,7752 | 0,9518 |
| 71 | 0,5385; 0,9823; 1,717 | -0,25; -0,4561; -0,7971 | 0,9518 |
| 72 | -0,5385; -0,9823; -1,717 | 0,25; 0,4561; 0,7971 | 0,9518 |
| 73 | -1,514; 1,068; -0,8775 | 0,703; -0,4957; 0,4074 | 0,9518 |
| 74 | 1,514; -1,068; 0,8775 | -0,703; 0,4957; -0,4074 | 0,9518 |
| 75 | 1,655; 1,153; -0,3639 | -0,7686; -0,5354; 0,169 | 0,9518 |
| 76 | -1,655; -1,153; 0,3639 | 0,7686; 0,5354; -0,169 | 0,9518 |
| 77 | -0,9395; 1,239; 1,336 | 0,4362; -0,5751; -0,6205 | 0,9518 |
| 78 | 0,9395; -1,239; -1,336 | -0,4362; 0,5751; 0,6205 | 0,9518 |
| 79 | -0,2011; 1,324; -1,552 | 0,09339; -0,6147; 0,7207 | 0,9518 |
| 80 | 0,2011; -1,324; 1,552 | -0,09339; 0,6147; -0,7207 | 0,9518 |
| 81 | 1,138; 1,409; 0,9594 | -0,5285; -0,6544; -0,4454 | 0,9518 |
| 82 | -1,138; -1,409; -0,9594 | 0,5285; 0,6544; 0,4454 | 0,9518 |
| 83 | -1,402; 1,495; 0,05796 | 0,6508; -0,694; -0,02691 | 0,9518 |
| 84 | 1,402; -1,495; -0,05796 | -0,6508; 0,694; 0,02691 | 0,9518 |
| 85 | 0,9257; 1,58; -0,9212 | -0,4298; -0,7337; 0,4277 | 0,9518 |
| 86 | -0,9257; -1,58; 0,9212 | 0,4298; 0,7337; -0,4277 | 0,9518 |
| 87 | -0,0552; 1,666; 1,194 | 0,02563; -0,7733; -0,5543 | 0,9518 |
| 88 | 0,0552; -1,666; -1,194 | -0,02563; 0,7733; 0,5543 | 0,9518 |
| 89 | -0,683; 1,751; -0,8185 | 0,3171; -0,813; 0,38 | 0,9518 |
| 90 | 0,683; -1,751; 0,8185 | -0,3171; 0,813; -0,38 | 0,9518 |
| 91 | 0,9029; 1,836; 0,1215 | -0,4192; -0,8527; -0,0564 | 0,9518 |
| 92 | -0,9029; -1,836; -0,1215 | 0,4192; 0,8527; 0,0564 | 0,9518 |
| 93 | -0,5856; 1,922; 0,4074 | 0,2719; -0,8923; -0,1892 | 0,9518 |
| 94 | 0,5856; -1,922; -0,4074 | -0,2719; 0,8923; 0,1892 | 0,9518 |
| 95 | 0,09136; 2,007; -0,4061 | -0,04242; -0,932; 0,1886 | 0,9518 |
| 96 | -0,09136; -2,007; 0,4061 | 0,04242; 0,932; -0,1886 | 0,9518 |
Ten newtonowski obraz chwili zakłada, że masa każdego ciała jest rozmieszczona tak samo we wszystkich kierunkach od jego środka. Pokazuje tylko pole na zewnątrz, a nie krzywiznę czasoprzestrzeni. Ciała pozostają nieruchome; ich ruch nie jest symulowany.
Interaktywne laboratorium, zestaw dydaktyczny i narzędzia oceny do tego kursu są po angielsku →
Lekcja 1 z 3
Pochodne, całki i zmiana lokalna
Jak nieskończenie małe tempo tworzy skończoną, mierzalną historię?
Pochodna to lokalne przybliżenie liniowe: prędkość to dx/dt, przyspieszenie to d²x/dt², a gradient pola daje kierunek najszybszej lokalnej zmiany.
Całka sumuje wkłady lokalne. Przemieszczenie sumuje prędkość; praca sumuje siłę wzdłuż drogi; prawdopodobieństwo sumuje gęstość po obszarze.
Przykład rozwiązany
Cząstka ma v(t)=3t² m/s. Znajdź przemieszczenie od t=0 do 2 s.
- 1. Scałkuj v po czasie.
- 2. ∫₀²3t²dt = [t³]₀².
- 3. Oblicz 8−0.
Przemieszczenie wynosi 8 m.
Spróbuj
Dualność nachylenia i pola
Materiały: Papier w kratkę albo notatnik do wykresów.
- 1. Narysuj wykres x=t³.
- 2. Oszacuj nachylenia stycznych.
- 3. Narysuj wykres v=3t².
- 4. Oszacuj pole pod v i porównaj ze zmianami x.
Zwróć uwagę: Różniczkowanie i całkowanie wiążą jedną historię fizyczną na dwa uzupełniające się sposoby.
Sprawdź, czy rozumiesz: Co przedstawia ∫F·dr?
Odpowiedź: Pracę przekazaną przez siłę wzdłuż drogi.
Iloczyn skalarny zatrzymuje składową równoległą do każdego elementu przemieszczenia.
Lekcja 2 z 3
Pola wektorowe, strumień i cyrkulacja
Jak lokalne strzałki kodują źródła, ujścia i obrót?
Gradient odwzorowuje zmianę skalara, dywergencja mierzy lokalny strumień wychodzący, a rotacja mierzy lokalną cyrkulację. Dzięki tym operatorom równania Maxwella są zwięzłe.
Twierdzenia całkowe łączą lokalne stwierdzenia różniczkowe z mierzalnymi strumieniami przez brzeg i całkami po pętlach.
Przykład rozwiązany
Dla F=(x,y,z) oblicz ∇·F.
- 1. Zróżniczkuj Fx względem x: 1.
- 2. Zróżniczkuj Fy względem y: 1.
- 3. Zróżniczkuj Fz względem z: 1.
∇·F=3, czyli jednorodna dodatnia gęstość źródeł w tym polu matematycznym.
Spróbuj
Szkic topologii pola
Materiały: Kartka papieru i kilka wzorów pól wektorowych.
- 1. Wykreśl strzałki w punktach siatki.
- 2. Zaznacz obszary dodatniej i ujemnej dywergencji.
- 3. Obejdź małą pętlę, aby sprawdzić cyrkulację.
- 4. Porównaj opis lokalny z opisem brzegowym.
Zwróć uwagę: Rysunek może podpowiedzieć topologię, a pochodne ją mierzą.
Sprawdź, czy rozumiesz: Co gwarantuje zerowa dywergencja?
Odpowiedź: Brak lokalnego źródła lub ujścia netto; nie gwarantuje, że pole jest zerowe ani bezwirowe.
Pole o zerowej dywergencji nadal może krążyć.
Lekcja 3 z 3
Równania różniczkowe, mody i obliczenia
Jak prawa wraz z warunkami początkowymi generują trajektorie i widma?
Równanie różniczkowe określa, jak zmienia się stan. Warunki początkowe albo brzegowe wybierają jedno rozwiązanie z całej rodziny.
Układy liniowe rozkładają się na mody; analiza Fouriera przedstawia złożone sygnały jako składowe częstotliwościowe. Krokowe metody numeryczne przybliżają układy bez rozwiązań w postaci zamkniętej.
Przykład rozwiązany
Rozwiąż dx/dt=−kx przy x(0)=x₀.
- 1. Rozdziel zmienne: dx/x=−kdt.
- 2. Scałkuj: ln x=−kt+C.
- 3. Zastosuj x(0)=x₀.
x(t)=x₀e⁻ᵏᵗ, uniwersalna postać relaksacji wykładniczej.
Spróbuj
Zanik: Euler kontra rozwiązanie ścisłe
Materiały: Arkusz kalkulacyjny albo notatnik z kodem.
- 1. Wybierz k i x₀.
- 2. Wykonuj kroki xₙ₊₁=xₙ−k xₙΔt.
- 3. Porównaj z x₀e⁻ᵏᵗ.
- 4. Zmniejsz Δt i zmierz błąd.
Zwróć uwagę: Wyniki numeryczne zbiegają dopiero wtedy, gdy krok jest dostatecznie mały, a schemat stabilny.
Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego warunki brzegowe są niezbędne w zadaniu o modach wnęki?
Odpowiedź: Wybierają, które rozwiązania równania pola są dozwolone.
Samo równanie różniczkowe dopuszcza szerszą rodzinę niż fizyczna geometria.
Od wzoru do znaczenia
Przeczytaj równanie zwykłym językiem.
v=dx/dt; a=d²x/dt²
Kolejne pochodne po czasie zamieniają położenie w prędkość i przyspieszenie.
∇f; ∇·F; ∇×F
Gradient, dywergencja i rotacja opisują ilościowo zmianę skalara, źródła strumienia i cyrkulację.
dy/dt=f(t,y)
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu generuje ewolucję stanu z danych początkowych.
Praktyka samodzielna
Zestaw zadań
Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.
1. Zróżniczkuj x(t)=A cos(ωt) dwukrotnie i wskaż równanie, które spełnia.
Pokaż podpowiedź
Każde różniczkowanie wnosi czynnik ω i zamienia sinus na cosinus.
Pokaż rozwiązanie
x¨=−ω²x, czyli x¨+ω²x=0.
2. Oblicz gradient funkcji f=x²+y²+z².
Pokaż podpowiedź
Zróżniczkuj raz względem każdej współrzędnej.
Pokaż rozwiązanie
∇f=(2x,2y,2z).
3. Oszacuj jeden krok metody Eulera dla dy/dt=−2y, y(0)=1, Δt=0,1.
Pokaż podpowiedź
y₁=y₀+f(y₀)Δt.
Pokaż rozwiązanie
y₁=1−2(1)(0.1)=0.8.
Pracownia wyprowadzeń
Zbuduj wynik, linijka po linijce.
Trzymaj założenia na widoku, żeby matematyka pozostała sprawdzalna.
Punkt wyjścia
Ruch harmoniczny prosty z prawa Hooke’a
F=−kx i F=ma
- 1. Przyjmij m x¨=−kx.
- 2. Podziel przez m: x¨+(k/m)x=0.
- 3. Sprawdź x=A cos(ωt+φ).
- 4. Porównaj współczynniki, aby otrzymać ω²=k/m.
x(t)=A cos(√(k/m)t+φ)
Lokalna siła przywracająca generuje globalną trajektorię okresową; warunki początkowe zadają amplitudę i fazę.
Punkt wyjścia
Równanie falowe dla napiętej struny
Bilans sił poprzecznych działających na krótki odcinek struny
- 1. Weź składowe naprężenia na obu końcach przy małym nachyleniu.
- 2. Wypadkowa siła poprzeczna wynosi T(∂²y/∂x²)Δx.
- 3. Masa elementu to μΔx.
- 4. Zastosuj zasadę dynamiki Newtona i skróć Δx.
∂²y/∂t²=(T/μ)∂²y/∂x²
Prędkość fali c=√(T/μ) wyłania się z przywracającego naprężenia i bezwładności na jednostkę długości.
Notatnik obliczeniowy
Zamień model w eksperyment.
Laboratorium numerycznego oscylatora
Kiedy całkowanie metodą Eulera zniekształca zachowywaną energię oscylatora?
Dane wejściowe
- • m, k, początkowe x i v
- • krok czasowy Δt
- • wybór między metodą Eulera a symplektyczną metodą Eulera
Algorytm
- 1. Całkuj położenie i prędkość.
- 2. Oblicz K+U w każdym kroku.
- 3. Powtórz dla kilku wartości Δt.
- 4. Porównaj dryf fazy i energii.
Dowody do uzyskania
- • Wykresy trajektorii i przestrzeni fazowej
- • Względny błąd energii w funkcji czasu
- • Uzasadniona rekomendacja stabilnego kroku
Idź dalej, do dowodów
Następna lektura, z jej źródłami
Wykład 1: Czym jest metryka?
Współrzędne, lokalne reguły pomiaru i potrzeba matematyki tensorowej.
Wykład 7: Kwantowa teoria pola i próżnia
Mody, widma i warunki brzegowe równań różniczkowych.
Graf wiedzy (po angielsku)
Prześledź, gdzie każde narzędzie matematyczne wchodzi do korpusu fizyki.
Rozdział 4: Tensor metryczny i napęd warp
Gdzie używa się rachunku wektorowego i równań różniczkowych z tego kursu.