Cálculo, vectores y ecuaciones diferenciales
Construye el lenguaje matemático que convierte las historias físicas en leyes locales y trayectorias comprobables.
Conecta las derivadas, las integrales, los campos vectoriales, el álgebra lineal, los modos de Fourier y las ecuaciones diferenciales con las rutas de mecánica, campos, relatividad y cuántica del sitio.
Antes de empezar
- • Mecánica del nivel 2
- • Álgebra, trigonometría y funciones
- • Soltura leyendo gráficas
Al terminar, podrás
- • Interpretar físicamente las derivadas y las integrales.
- • Calcular con vectores, matrices, gradientes, divergencia y rotacional.
- • Resolver ecuaciones diferenciales representativas de primer y segundo orden.
- • Usar el análisis dimensional, el escalado y la integración numérica para poner a prueba un modelo.
Modelo interactivo
Explora antes de calcular
Un campo vectorial asigna un vector a cada posición. Estas flechas de aceleración newtoniana solo indican dirección; la magnitud aparece en los valores de cada punto. Las dos masas contribuyen en la vista de dos cuerpos.
La gravedad no tiene un «abajo» universal
Imagina pequeños objetos de prueba alrededor de las masas. Cada flecha muestra la dirección en la que la gravedad cambia el movimiento de un objeto, no su trayectoria.
Fuera de una masa esférica, la gravedad apunta hacia su centro desde cualquier dirección.
Todas las flechas no nulas tienen la misma longitud en 3D: solo indican dirección. La intensidad se muestra en los valores de cada punto. Una flecha puede parecer más corta cuando apunta hacia tu punto de vista o en sentido contrario. Las flechas más pálidas están en la mitad más alejada de la escena; no indican una gravedad más débil.
Pruébalo: ¿dónde está abajo?
- Elige una masa. Predice hacia dónde apuntan las flechas del lado más lejano y gira la vista para comprobarlo. Mira desde arriba y desde abajo: ¿siguen apuntando hacia la masa?
- Elige dos masas y vuelve a girar la vista. Cada flecha combina ahora ambas atracciones; no tiene por qué apuntar a ninguno de los centros. La masa menor también contribuye.
Al girar la vista, ¿cambió la gravedad o solo tu manera de verla?
Comprueba tu respuesta
Solo cambió tu punto de vista. Las masas y la atracción en cada punto siguieron iguales. No hay un fondo debajo de toda la escena.
Punto seleccionado · Unidades a escala para aprender
x, y y z son coordenadas de la escena, no un arriba o abajo universal.
- Posición (x, y, z)
- 1,25; 0,02604; 0
- Aceleración (x, y, z)
- -2,559; -0,05333; 0
- Intensidad
- 2,56
Masas de esta instantánea
- A: Masa 4; Radio 0,64; Centro (0; 0; 0)
Valores de todos los puntos
| Punto | Posición (x, y, z) | Aceleración (x, y, z) | Intensidad |
|---|---|---|---|
| 1 | 1,25; 0,02604; 0 | -2,559; -0,05333; 0 | 2,56 |
| 2 | -1,25; -0,02604; 0 | 2,559; 0,05333; 0 | 2,56 |
| 3 | -0,9199; 0,07813; 0,8427 | 1,884; -0,16; -1,726 | 2,56 |
| 4 | 0,9199; -0,07813; -0,8427 | -1,884; 0,16; 1,726 | 2,56 |
| 5 | 0,1087; 0,1302; -1,238 | -0,2226; -0,2667; 2,536 | 2,56 |
| 6 | -0,1087; -0,1302; 1,238 | 0,2226; 0,2667; -2,536 | 2,56 |
| 7 | 0,7524; 0,1823; 0,9814 | -1,541; -0,3733; -2,01 | 2,56 |
| 8 | -0,7524; -0,1823; -0,9814 | 1,541; 0,3733; 2,01 | 2,56 |
| 9 | -1,209; 0,2344; -0,2139 | 2,476; -0,48; 0,438 | 2,56 |
| 10 | 1,209; -0,2344; 0,2139 | -2,476; 0,48; -0,438 | 2,56 |
| 11 | 1,027; 0,2865; -0,6531 | -2,103; -0,5867; 1,337 | 2,56 |
| 12 | -1,027; -0,2865; 0,6531 | 2,103; 0,5867; -1,337 | 2,56 |
| 13 | -0,3124; 0,3385; 1,162 | 0,6397; -0,6933; -2,38 | 2,56 |
| 14 | 0,3124; -0,3385; -1,162 | -0,6397; 0,6933; 2,38 | 2,56 |
| 15 | -0,5473; 0,3906; -1,054 | 1,121; -0,8; 2,158 | 2,56 |
| 16 | 0,5473; -0,3906; 1,054 | -1,121; 0,8; -2,158 | 2,56 |
| 17 | 1,098; 0,4427; 0,401 | -2,249; -0,9067; -0,8213 | 2,56 |
| 18 | -1,098; -0,4427; -0,401 | 2,249; 0,9067; 0,8213 | 2,56 |
| 19 | -1,061; 0,4948; 0,438 | 2,173; -1,013; -0,897 | 2,56 |
| 20 | 1,061; -0,4948; -0,438 | -2,173; 1,013; 0,897 | 2,56 |
| 21 | 0,4764; 0,5469; -1,018 | -0,9757; -1,12; 2,085 | 2,56 |
| 22 | -0,4764; -0,5469; 1,018 | 0,9757; 1,12; -2,085 | 2,56 |
| 23 | 0,3284; 0,599; 1,047 | -0,6725; -1,227; -2,144 | 2,56 |
| 24 | -0,3284; -0,599; -1,047 | 0,6725; 1,227; 2,144 | 2,56 |
| 25 | -0,9232; 0,651; -0,535 | 1,891; -1,333; 1,096 | 2,56 |
| 26 | 0,9232; -0,651; 0,535 | -1,891; 1,333; -1,096 | 2,56 |
| 27 | 1,009; 0,7031; -0,2219 | -2,067; -1,44; 0,4545 | 2,56 |
| 28 | -1,009; -0,7031; 0,2219 | 2,067; 1,44; -0,4545 | 2,56 |
| 29 | -0,5729; 0,7552; 0,8148 | 1,173; -1,547; -1,669 | 2,56 |
| 30 | 0,5729; -0,7552; -0,8148 | -1,173; 1,547; 1,669 | 2,56 |
| 31 | -0,1226; 0,8073; -0,9464 | 0,2512; -1,653; 1,938 | 2,56 |
| 32 | 0,1226; -0,8073; 0,9464 | -0,2512; 1,653; -1,938 | 2,56 |
| 33 | 0,6941; 0,8594; 0,585 | -1,422; -1,76; -1,198 | 2,56 |
| 34 | -0,6941; -0,8594; -0,585 | 1,422; 1,76; 1,198 | 2,56 |
| 35 | -0,8547; 0,9115; 0,03534 | 1,75; -1,867; -0,07238 | 2,56 |
| 36 | 0,8547; -0,9115; -0,03534 | -1,75; 1,867; 0,07238 | 2,56 |
| 37 | 0,5644; 0,9635; -0,5617 | -1,156; -1,973; 1,15 | 2,56 |
| 38 | -0,5644; -0,9635; 0,5617 | 1,156; 1,973; -1,15 | 2,56 |
| 39 | -0,03366; 1,016; 0,7279 | 0,06894; -2,08; -1,491 | 2,56 |
| 40 | 0,03366; -1,016; -0,7279 | -0,06894; 2,08; 1,491 | 2,56 |
| 41 | -0,4165; 1,068; -0,4991 | 0,8529; -2,187; 1,022 | 2,56 |
| 42 | 0,4165; -1,068; 0,4991 | -0,8529; 2,187; -1,022 | 2,56 |
| 43 | 0,5505; 1,12; 0,07407 | -1,127; -2,293; -0,1517 | 2,56 |
| 44 | -0,5505; -1,12; -0,07407 | 1,127; 2,293; 0,1517 | 2,56 |
| 45 | -0,3571; 1,172; 0,2484 | 0,7313; -2,4; -0,5088 | 2,56 |
| 46 | 0,3571; -1,172; -0,2484 | -0,7313; 2,4; 0,5088 | 2,56 |
| 47 | 0,05571; 1,224; -0,2476 | -0,1141; -2,507; 0,5072 | 2,56 |
| 48 | -0,05571; -1,224; 0,2476 | 0,1141; 2,507; -0,5072 | 2,56 |
| 49 | 2,05; 0,04271; 0 | -0,9516; -0,01983; 0 | 0,9518 |
| 50 | -2,05; -0,04271; 0 | 0,9516; 0,01983; 0 | 0,9518 |
| 51 | -1,509; 0,1281; 1,382 | 0,7005; -0,05949; -0,6417 | 0,9518 |
| 52 | 1,509; -0,1281; -1,382 | -0,7005; 0,05949; 0,6417 | 0,9518 |
| 53 | 0,1782; 0,2135; -2,031 | -0,08276; -0,09915; 0,943 | 0,9518 |
| 54 | -0,1782; -0,2135; 2,031 | 0,08276; 0,09915; -0,943 | 0,9518 |
| 55 | 1,234; 0,299; 1,609 | -0,5729; -0,1388; -0,7473 | 0,9518 |
| 56 | -1,234; -0,299; -1,609 | 0,5729; 0,1388; 0,7473 | 0,9518 |
| 57 | -1,983; 0,3844; -0,3507 | 0,9206; -0,1785; 0,1628 | 0,9518 |
| 58 | 1,983; -0,3844; 0,3507 | -0,9206; 0,1785; -0,1628 | 0,9518 |
| 59 | 1,684; 0,4698; -1,071 | -0,7817; -0,2181; 0,4973 | 0,9518 |
| 60 | -1,684; -0,4698; 1,071 | 0,7817; 0,2181; -0,4973 | 0,9518 |
| 61 | -0,5123; 0,5552; 1,906 | 0,2379; -0,2578; -0,8848 | 0,9518 |
| 62 | 0,5123; -0,5552; -1,906 | -0,2379; 0,2578; 0,8848 | 0,9518 |
| 63 | -0,8975; 0,6406; -1,728 | 0,4167; -0,2974; 0,8024 | 0,9518 |
| 64 | 0,8975; -0,6406; 1,728 | -0,4167; 0,2974; -0,8024 | 0,9518 |
| 65 | 1,801; 0,726; 0,6576 | -0,8361; -0,3371; -0,3053 | 0,9518 |
| 66 | -1,801; -0,726; -0,6576 | 0,8361; 0,3371; 0,3053 | 0,9518 |
| 67 | -1,74; 0,8115; 0,7183 | 0,8079; -0,3768; -0,3335 | 0,9518 |
| 68 | 1,74; -0,8115; -0,7183 | -0,8079; 0,3768; 0,3335 | 0,9518 |
| 69 | 0,7813; 0,8969; -1,67 | -0,3628; -0,4164; 0,7752 | 0,9518 |
| 70 | -0,7813; -0,8969; 1,67 | 0,3628; 0,4164; -0,7752 | 0,9518 |
| 71 | 0,5385; 0,9823; 1,717 | -0,25; -0,4561; -0,7971 | 0,9518 |
| 72 | -0,5385; -0,9823; -1,717 | 0,25; 0,4561; 0,7971 | 0,9518 |
| 73 | -1,514; 1,068; -0,8775 | 0,703; -0,4957; 0,4074 | 0,9518 |
| 74 | 1,514; -1,068; 0,8775 | -0,703; 0,4957; -0,4074 | 0,9518 |
| 75 | 1,655; 1,153; -0,3639 | -0,7686; -0,5354; 0,169 | 0,9518 |
| 76 | -1,655; -1,153; 0,3639 | 0,7686; 0,5354; -0,169 | 0,9518 |
| 77 | -0,9395; 1,239; 1,336 | 0,4362; -0,5751; -0,6205 | 0,9518 |
| 78 | 0,9395; -1,239; -1,336 | -0,4362; 0,5751; 0,6205 | 0,9518 |
| 79 | -0,2011; 1,324; -1,552 | 0,09339; -0,6147; 0,7207 | 0,9518 |
| 80 | 0,2011; -1,324; 1,552 | -0,09339; 0,6147; -0,7207 | 0,9518 |
| 81 | 1,138; 1,409; 0,9594 | -0,5285; -0,6544; -0,4454 | 0,9518 |
| 82 | -1,138; -1,409; -0,9594 | 0,5285; 0,6544; 0,4454 | 0,9518 |
| 83 | -1,402; 1,495; 0,05796 | 0,6508; -0,694; -0,02691 | 0,9518 |
| 84 | 1,402; -1,495; -0,05796 | -0,6508; 0,694; 0,02691 | 0,9518 |
| 85 | 0,9257; 1,58; -0,9212 | -0,4298; -0,7337; 0,4277 | 0,9518 |
| 86 | -0,9257; -1,58; 0,9212 | 0,4298; 0,7337; -0,4277 | 0,9518 |
| 87 | -0,0552; 1,666; 1,194 | 0,02563; -0,7733; -0,5543 | 0,9518 |
| 88 | 0,0552; -1,666; -1,194 | -0,02563; 0,7733; 0,5543 | 0,9518 |
| 89 | -0,683; 1,751; -0,8185 | 0,3171; -0,813; 0,38 | 0,9518 |
| 90 | 0,683; -1,751; 0,8185 | -0,3171; 0,813; -0,38 | 0,9518 |
| 91 | 0,9029; 1,836; 0,1215 | -0,4192; -0,8527; -0,0564 | 0,9518 |
| 92 | -0,9029; -1,836; -0,1215 | 0,4192; 0,8527; 0,0564 | 0,9518 |
| 93 | -0,5856; 1,922; 0,4074 | 0,2719; -0,8923; -0,1892 | 0,9518 |
| 94 | 0,5856; -1,922; -0,4074 | -0,2719; 0,8923; 0,1892 | 0,9518 |
| 95 | 0,09136; 2,007; -0,4061 | -0,04242; -0,932; 0,1886 | 0,9518 |
| 96 | -0,09136; -2,007; 0,4061 | 0,04242; 0,932; -0,1886 | 0,9518 |
Esta instantánea newtoniana supone que la masa de cada cuerpo se distribuye de la misma manera en todas las direcciones desde su centro. Solo muestra el campo exterior, no la curvatura del espacio-tiempo. Los cuerpos permanecen fijos; no se simula su movimiento.
Lección 1 de 3
Derivadas, integrales y cambio local
¿Cómo produce un ritmo infinitesimal una historia finita y medible?
Una derivada es una aproximación lineal local: la velocidad es dx/dt, la aceleración es d²x/dt² y el gradiente de un campo da el cambio local más pronunciado.
Una integral acumula contribuciones locales. El desplazamiento acumula velocidad; el trabajo acumula fuerza a lo largo de un camino; la probabilidad acumula densidad sobre una región.
Ejemplo resuelto
Una partícula tiene v(t)=3t² m/s. Halla el desplazamiento de t=0 a 2 s.
- 1. Integra v respecto al tiempo.
- 2. ∫₀²3t²dt = [t³]₀².
- 3. Evalúa 8−0.
El desplazamiento es 8 m.
Pruébalo
Dualidad entre pendiente y área
Materiales: Papel cuadriculado o un cuaderno de gráficas.
- 1. Representa x=t³.
- 2. Estima las pendientes de las tangentes.
- 3. Representa v=3t².
- 4. Estima el área bajo v y compárala con los cambios de x.
Fíjate: La derivación y la integración conectan una misma historia física de dos formas complementarias.
Comprueba lo que entendiste: ¿Qué representa ∫F·dr?
Respuesta: El trabajo transferido por una fuerza a lo largo de un camino.
El producto escalar conserva la componente paralela a cada elemento de desplazamiento.
Lección 2 de 3
Campos vectoriales, flujo y circulación
¿Cómo codifican unas flechas locales las fuentes, los sumideros y la rotación?
El gradiente traza el cambio escalar, la divergencia mide el flujo local hacia fuera y el rotacional mide la circulación local. Estos operadores hacen compactas las ecuaciones de Maxwell.
Los teoremas integrales conectan los enunciados diferenciales locales con flujos y circuitos de contorno medibles.
Ejemplo resuelto
Para F=(x,y,z), calcula ∇·F.
- 1. Deriva Fx respecto a x: 1.
- 2. Deriva Fy respecto a y: 1.
- 3. Deriva Fz respecto a z: 1.
∇·F=3, una densidad de fuente positiva y uniforme en este campo matemático.
Pruébalo
Bosquejo de la topología de un campo
Materiales: Papel y varias fórmulas de campos vectoriales.
- 1. Dibuja flechas en los puntos de una cuadrícula.
- 2. Marca las regiones de divergencia positiva o negativa.
- 3. Recorre un lazo pequeño para comprobar la circulación.
- 4. Compara la descripción local con la del contorno.
Fíjate: Un dibujo puede sugerir la topología, mientras que las derivadas la cuantifican.
Comprueba lo que entendiste: ¿Qué garantiza una divergencia nula?
Respuesta: Que no hay fuente ni sumidero neto local; no garantiza que el campo sea cero ni que su rotacional lo sea.
Un campo sin divergencia puede circular igualmente.
Lección 3 de 3
Ecuaciones diferenciales, modos y computación
¿Cómo generan trayectorias y espectros las leyes junto con las condiciones iniciales?
Una ecuación diferencial especifica cómo cambia un estado. Las condiciones iniciales o de contorno seleccionan una solución dentro de una familia.
Los sistemas lineales se descomponen en modos; el análisis de Fourier representa señales complejas como componentes de frecuencia. El avance numérico aproxima sistemas que no tienen solución cerrada.
Ejemplo resuelto
Resuelve dx/dt=−kx con x(0)=x₀.
- 1. Separa variables: dx/x=−kdt.
- 2. Integra: ln x=−kt+C.
- 3. Aplica x(0)=x₀.
x(t)=x₀e⁻ᵏᵗ, la forma universal de la relajación exponencial.
Pruébalo
Decaimiento: Euler frente a exacto
Materiales: Hoja de cálculo o cuaderno de código.
- 1. Elige k y x₀.
- 2. Avanza con xₙ₊₁=xₙ−k xₙΔt.
- 3. Compáralo con x₀e⁻ᵏᵗ.
- 4. Reduce Δt y mide el error.
Fíjate: Las respuestas numéricas convergen solo cuando el paso es lo bastante pequeño y el esquema es estable.
Comprueba lo que entendiste: ¿Por qué son esenciales las condiciones de contorno en un problema de modos de una cavidad?
Respuesta: Seleccionan qué soluciones de la ecuación de campo están permitidas.
La ecuación diferencial por sí sola permite una familia más amplia que la geometría física.
De la fórmula al significado
Lee la ecuación en lenguaje corriente.
v=dx/dt; a=d²x/dt²
Las derivadas temporales sucesivas convierten la posición en velocidad y en aceleración.
∇f; ∇·F; ∇×F
El gradiente, la divergencia y el rotacional cuantifican el cambio escalar, las fuentes de flujo y la circulación.
dy/dt=f(t,y)
Una ecuación diferencial de primer orden genera la evolución del estado a partir de los datos iniciales.
Práctica independiente
Serie de problemas
Resuelve cada problema antes de abrir la pista y la solución.
1. Deriva x(t)=A cos(ωt) dos veces e identifica la ecuación que cumple.
Ver la pista
Cada derivada aporta un factor ω y alterna seno y coseno.
Ver la solución
x¨=−ω²x, así que x¨+ω²x=0.
2. Calcula el gradiente de f=x²+y²+z².
Ver la pista
Deriva una vez respecto a cada coordenada.
Ver la solución
∇f=(2x,2y,2z).
3. Estima un paso de Euler para dy/dt=−2y, y(0)=1, Δt=0.1.
Ver la pista
y₁=y₀+f(y₀)Δt.
Ver la solución
y₁=1−2(1)(0.1)=0.8.
Taller de derivación
Construye el resultado, línea a línea.
Mantén las suposiciones a la vista para que la matemática siga siendo auditable.
Punto de partida
El movimiento armónico simple a partir de la ley de Hooke
F=−kx y F=ma
- 1. Plantea m x¨=−kx.
- 2. Divide entre m: x¨+(k/m)x=0.
- 3. Prueba x=A cos(ωt+φ).
- 4. Iguala coeficientes para obtener ω²=k/m.
x(t)=A cos(√(k/m)t+φ)
Una fuerza restauradora local genera una trayectoria periódica global; las condiciones iniciales fijan la amplitud y la fase.
Punto de partida
La ecuación de ondas a partir de una cuerda tensa
Balance de fuerzas transversales sobre un elemento corto de cuerda
- 1. Usa las componentes de la tensión con pendiente pequeña en ambos extremos.
- 2. La fuerza transversal neta es T(∂²y/∂x²)Δx.
- 3. La masa del elemento es μΔx.
- 4. Aplica la ley de Newton y cancela Δx.
∂²y/∂t²=(T/μ)∂²y/∂x²
La velocidad de onda c=√(T/μ) surge de la tensión restauradora y de la inercia por unidad de longitud.
Cuaderno computacional
Convierte el modelo en un experimento.
Laboratorio numérico del oscilador
¿Cuándo distorsiona la integración de Euler la energía conservada de un oscilador?
Entradas
- • m, k, x y v iniciales
- • paso de tiempo Δt
- • opciones de Euler y de Euler simpléctico
Algoritmo
- 1. Integra la posición y la velocidad.
- 2. Calcula K+U en cada paso.
- 3. Repítelo para varios Δt.
- 4. Compara la deriva de fase y la de energía.
Evidencia que producir
- • Gráficas de trayectoria y de espacio de fases
- • Error relativo de energía frente al tiempo
- • Una recomendación justificada de paso estable
Sigue hacia la evidencia
Próxima lectura, con sus fuentes
Clase 1: ¿Qué es una métrica?
Coordenadas, reglas locales de medida y la necesidad de las matemáticas tensoriales.
Clase 7: La teoría cuántica de campos y el vacío
Modos, espectros y condiciones de contorno de ecuaciones diferenciales.
Grafo de conocimiento (en inglés)
Sigue el rastro de dónde entra cada herramienta matemática en el corpus de física.
Capítulo 4: El tensor métrico y el motor de curvatura
Dónde se usan el cálculo vectorial y las ecuaciones diferenciales de este curso.