La relativité restreinte sans raccourcis
Utilisez quantitativement les événements, les cônes de lumière, les transformations de Lorentz et les quadrivecteurs.
Dépassez les slogans pour atteindre l'intervalle invariant, la dilatation du temps, la contraction des longueurs, la quantité de mouvement relativiste et la structure causale.
Avant de commencer
- • Le cours d'espace-temps du niveau 1
- • Mécanique
- • Algèbre et racines carrées
À la fin, vous saurez
- • Calculer des facteurs de Lorentz et la dilatation du temps.
- • Utiliser l'intervalle invariant pour classer la séparation entre événements.
- • Relier énergie et quantité de mouvement de façon relativiste.
- • Expliquer pourquoi le mouvement local ne dépasse jamais c dans une métrique de distorsion.
Modèle interactif
Explorez avant de calculer
Cette comparaison montre la gravité newtonienne, pas la relativité restreinte. Les flèches indiquent des directions d’accélération à l’extérieur de masses sphériques ; ce ne sont ni des quadrivecteurs ni un dessin de la métrique de l’espace-temps.
La gravité n’a pas de « bas » universel
Imagine de petits objets tests tout autour des masses. Chaque flèche indique la direction dans laquelle la gravité modifie le mouvement d’un objet, et non sa trajectoire.
À l’extérieur d’une masse sphérique, la gravité pointe vers son centre depuis toutes les directions.
Toutes les flèches non nulles ont la même longueur en 3D : elles indiquent seulement la direction. L’intensité figure dans les valeurs de chaque point. Une flèche peut paraître plus courte lorsqu’elle pointe vers ton point de vue ou dans la direction opposée. Les flèches plus pâles se trouvent dans la moitié la plus éloignée de la scène ; elles n’indiquent pas une gravité plus faible.
À toi : où est le bas ?
- Choisis une masse. Prédis où pointent les flèches du côté le plus éloigné, puis tourne la vue pour vérifier. Regarde du dessus et du dessous : pointent-elles toujours vers la masse ?
- Choisis deux masses et tourne encore la vue. Chaque flèche combine maintenant les deux attractions ; elle ne pointe pas forcément vers l’un des centres. La plus petite masse contribue aussi.
Tourner la vue a-t-il changé la gravité ou seulement ta façon de la voir ?
Vérifie ta réponse
Seul ton point de vue a changé. Les masses et l’attraction à chaque point sont restées les mêmes. Il n’y a pas de fond sous toute la scène.
Point sélectionné · Unités mises à l’échelle pour l’apprentissage
x, y et z sont les coordonnées de la scène, pas un haut ou un bas universel.
- Position (x, y, z)
- 1,25; 0,02604; 0
- Accélération (x, y, z)
- -2,559; -0,05333; 0
- Intensité
- 2,56
Masses de cet instantané
- A: Masse 4; Rayon 0,64; Centre (0; 0; 0)
Valeurs de tous les points
| Point | Position (x, y, z) | Accélération (x, y, z) | Intensité |
|---|---|---|---|
| 1 | 1,25; 0,02604; 0 | -2,559; -0,05333; 0 | 2,56 |
| 2 | -1,25; -0,02604; 0 | 2,559; 0,05333; 0 | 2,56 |
| 3 | -0,9199; 0,07813; 0,8427 | 1,884; -0,16; -1,726 | 2,56 |
| 4 | 0,9199; -0,07813; -0,8427 | -1,884; 0,16; 1,726 | 2,56 |
| 5 | 0,1087; 0,1302; -1,238 | -0,2226; -0,2667; 2,536 | 2,56 |
| 6 | -0,1087; -0,1302; 1,238 | 0,2226; 0,2667; -2,536 | 2,56 |
| 7 | 0,7524; 0,1823; 0,9814 | -1,541; -0,3733; -2,01 | 2,56 |
| 8 | -0,7524; -0,1823; -0,9814 | 1,541; 0,3733; 2,01 | 2,56 |
| 9 | -1,209; 0,2344; -0,2139 | 2,476; -0,48; 0,438 | 2,56 |
| 10 | 1,209; -0,2344; 0,2139 | -2,476; 0,48; -0,438 | 2,56 |
| 11 | 1,027; 0,2865; -0,6531 | -2,103; -0,5867; 1,337 | 2,56 |
| 12 | -1,027; -0,2865; 0,6531 | 2,103; 0,5867; -1,337 | 2,56 |
| 13 | -0,3124; 0,3385; 1,162 | 0,6397; -0,6933; -2,38 | 2,56 |
| 14 | 0,3124; -0,3385; -1,162 | -0,6397; 0,6933; 2,38 | 2,56 |
| 15 | -0,5473; 0,3906; -1,054 | 1,121; -0,8; 2,158 | 2,56 |
| 16 | 0,5473; -0,3906; 1,054 | -1,121; 0,8; -2,158 | 2,56 |
| 17 | 1,098; 0,4427; 0,401 | -2,249; -0,9067; -0,8213 | 2,56 |
| 18 | -1,098; -0,4427; -0,401 | 2,249; 0,9067; 0,8213 | 2,56 |
| 19 | -1,061; 0,4948; 0,438 | 2,173; -1,013; -0,897 | 2,56 |
| 20 | 1,061; -0,4948; -0,438 | -2,173; 1,013; 0,897 | 2,56 |
| 21 | 0,4764; 0,5469; -1,018 | -0,9757; -1,12; 2,085 | 2,56 |
| 22 | -0,4764; -0,5469; 1,018 | 0,9757; 1,12; -2,085 | 2,56 |
| 23 | 0,3284; 0,599; 1,047 | -0,6725; -1,227; -2,144 | 2,56 |
| 24 | -0,3284; -0,599; -1,047 | 0,6725; 1,227; 2,144 | 2,56 |
| 25 | -0,9232; 0,651; -0,535 | 1,891; -1,333; 1,096 | 2,56 |
| 26 | 0,9232; -0,651; 0,535 | -1,891; 1,333; -1,096 | 2,56 |
| 27 | 1,009; 0,7031; -0,2219 | -2,067; -1,44; 0,4545 | 2,56 |
| 28 | -1,009; -0,7031; 0,2219 | 2,067; 1,44; -0,4545 | 2,56 |
| 29 | -0,5729; 0,7552; 0,8148 | 1,173; -1,547; -1,669 | 2,56 |
| 30 | 0,5729; -0,7552; -0,8148 | -1,173; 1,547; 1,669 | 2,56 |
| 31 | -0,1226; 0,8073; -0,9464 | 0,2512; -1,653; 1,938 | 2,56 |
| 32 | 0,1226; -0,8073; 0,9464 | -0,2512; 1,653; -1,938 | 2,56 |
| 33 | 0,6941; 0,8594; 0,585 | -1,422; -1,76; -1,198 | 2,56 |
| 34 | -0,6941; -0,8594; -0,585 | 1,422; 1,76; 1,198 | 2,56 |
| 35 | -0,8547; 0,9115; 0,03534 | 1,75; -1,867; -0,07238 | 2,56 |
| 36 | 0,8547; -0,9115; -0,03534 | -1,75; 1,867; 0,07238 | 2,56 |
| 37 | 0,5644; 0,9635; -0,5617 | -1,156; -1,973; 1,15 | 2,56 |
| 38 | -0,5644; -0,9635; 0,5617 | 1,156; 1,973; -1,15 | 2,56 |
| 39 | -0,03366; 1,016; 0,7279 | 0,06894; -2,08; -1,491 | 2,56 |
| 40 | 0,03366; -1,016; -0,7279 | -0,06894; 2,08; 1,491 | 2,56 |
| 41 | -0,4165; 1,068; -0,4991 | 0,8529; -2,187; 1,022 | 2,56 |
| 42 | 0,4165; -1,068; 0,4991 | -0,8529; 2,187; -1,022 | 2,56 |
| 43 | 0,5505; 1,12; 0,07407 | -1,127; -2,293; -0,1517 | 2,56 |
| 44 | -0,5505; -1,12; -0,07407 | 1,127; 2,293; 0,1517 | 2,56 |
| 45 | -0,3571; 1,172; 0,2484 | 0,7313; -2,4; -0,5088 | 2,56 |
| 46 | 0,3571; -1,172; -0,2484 | -0,7313; 2,4; 0,5088 | 2,56 |
| 47 | 0,05571; 1,224; -0,2476 | -0,1141; -2,507; 0,5072 | 2,56 |
| 48 | -0,05571; -1,224; 0,2476 | 0,1141; 2,507; -0,5072 | 2,56 |
| 49 | 2,05; 0,04271; 0 | -0,9516; -0,01983; 0 | 0,9518 |
| 50 | -2,05; -0,04271; 0 | 0,9516; 0,01983; 0 | 0,9518 |
| 51 | -1,509; 0,1281; 1,382 | 0,7005; -0,05949; -0,6417 | 0,9518 |
| 52 | 1,509; -0,1281; -1,382 | -0,7005; 0,05949; 0,6417 | 0,9518 |
| 53 | 0,1782; 0,2135; -2,031 | -0,08276; -0,09915; 0,943 | 0,9518 |
| 54 | -0,1782; -0,2135; 2,031 | 0,08276; 0,09915; -0,943 | 0,9518 |
| 55 | 1,234; 0,299; 1,609 | -0,5729; -0,1388; -0,7473 | 0,9518 |
| 56 | -1,234; -0,299; -1,609 | 0,5729; 0,1388; 0,7473 | 0,9518 |
| 57 | -1,983; 0,3844; -0,3507 | 0,9206; -0,1785; 0,1628 | 0,9518 |
| 58 | 1,983; -0,3844; 0,3507 | -0,9206; 0,1785; -0,1628 | 0,9518 |
| 59 | 1,684; 0,4698; -1,071 | -0,7817; -0,2181; 0,4973 | 0,9518 |
| 60 | -1,684; -0,4698; 1,071 | 0,7817; 0,2181; -0,4973 | 0,9518 |
| 61 | -0,5123; 0,5552; 1,906 | 0,2379; -0,2578; -0,8848 | 0,9518 |
| 62 | 0,5123; -0,5552; -1,906 | -0,2379; 0,2578; 0,8848 | 0,9518 |
| 63 | -0,8975; 0,6406; -1,728 | 0,4167; -0,2974; 0,8024 | 0,9518 |
| 64 | 0,8975; -0,6406; 1,728 | -0,4167; 0,2974; -0,8024 | 0,9518 |
| 65 | 1,801; 0,726; 0,6576 | -0,8361; -0,3371; -0,3053 | 0,9518 |
| 66 | -1,801; -0,726; -0,6576 | 0,8361; 0,3371; 0,3053 | 0,9518 |
| 67 | -1,74; 0,8115; 0,7183 | 0,8079; -0,3768; -0,3335 | 0,9518 |
| 68 | 1,74; -0,8115; -0,7183 | -0,8079; 0,3768; 0,3335 | 0,9518 |
| 69 | 0,7813; 0,8969; -1,67 | -0,3628; -0,4164; 0,7752 | 0,9518 |
| 70 | -0,7813; -0,8969; 1,67 | 0,3628; 0,4164; -0,7752 | 0,9518 |
| 71 | 0,5385; 0,9823; 1,717 | -0,25; -0,4561; -0,7971 | 0,9518 |
| 72 | -0,5385; -0,9823; -1,717 | 0,25; 0,4561; 0,7971 | 0,9518 |
| 73 | -1,514; 1,068; -0,8775 | 0,703; -0,4957; 0,4074 | 0,9518 |
| 74 | 1,514; -1,068; 0,8775 | -0,703; 0,4957; -0,4074 | 0,9518 |
| 75 | 1,655; 1,153; -0,3639 | -0,7686; -0,5354; 0,169 | 0,9518 |
| 76 | -1,655; -1,153; 0,3639 | 0,7686; 0,5354; -0,169 | 0,9518 |
| 77 | -0,9395; 1,239; 1,336 | 0,4362; -0,5751; -0,6205 | 0,9518 |
| 78 | 0,9395; -1,239; -1,336 | -0,4362; 0,5751; 0,6205 | 0,9518 |
| 79 | -0,2011; 1,324; -1,552 | 0,09339; -0,6147; 0,7207 | 0,9518 |
| 80 | 0,2011; -1,324; 1,552 | -0,09339; 0,6147; -0,7207 | 0,9518 |
| 81 | 1,138; 1,409; 0,9594 | -0,5285; -0,6544; -0,4454 | 0,9518 |
| 82 | -1,138; -1,409; -0,9594 | 0,5285; 0,6544; 0,4454 | 0,9518 |
| 83 | -1,402; 1,495; 0,05796 | 0,6508; -0,694; -0,02691 | 0,9518 |
| 84 | 1,402; -1,495; -0,05796 | -0,6508; 0,694; 0,02691 | 0,9518 |
| 85 | 0,9257; 1,58; -0,9212 | -0,4298; -0,7337; 0,4277 | 0,9518 |
| 86 | -0,9257; -1,58; 0,9212 | 0,4298; 0,7337; -0,4277 | 0,9518 |
| 87 | -0,0552; 1,666; 1,194 | 0,02563; -0,7733; -0,5543 | 0,9518 |
| 88 | 0,0552; -1,666; -1,194 | -0,02563; 0,7733; 0,5543 | 0,9518 |
| 89 | -0,683; 1,751; -0,8185 | 0,3171; -0,813; 0,38 | 0,9518 |
| 90 | 0,683; -1,751; 0,8185 | -0,3171; 0,813; -0,38 | 0,9518 |
| 91 | 0,9029; 1,836; 0,1215 | -0,4192; -0,8527; -0,0564 | 0,9518 |
| 92 | -0,9029; -1,836; -0,1215 | 0,4192; 0,8527; 0,0564 | 0,9518 |
| 93 | -0,5856; 1,922; 0,4074 | 0,2719; -0,8923; -0,1892 | 0,9518 |
| 94 | 0,5856; -1,922; -0,4074 | -0,2719; 0,8923; 0,1892 | 0,9518 |
| 95 | 0,09136; 2,007; -0,4061 | -0,04242; -0,932; 0,1886 | 0,9518 |
| 96 | -0,09136; -2,007; 0,4061 | 0,04242; 0,932; -0,1886 | 0,9518 |
Cet instantané newtonien suppose que la masse de chaque corps est répartie de la même façon dans toutes les directions depuis son centre. Il montre seulement le champ extérieur, pas la courbure de l’espace-temps. Les corps restent fixes ; leur mouvement n’est pas simulé.
Leçon 1 sur 3
Facteur de Lorentz et horloges en mouvement
Combien de temps propre s'accumule le long de trajets inertiels différents ?
Le facteur de Lorentz γ = 1/√(1−v²/c²) quantifie l'intensité du mélange des coordonnées d'espace et de temps. Aux vitesses quotidiennes, γ vaut presque un.
Le temps propre est ce qu'enregistre une horloge le long de son propre trajet. Entre les mêmes événements de départ et de retrouvailles, des trajets différents peuvent accumuler des temps propres différents.
Exemple résolu
Un vaisseau se déplace à 0,80c. Trouvez γ.
- 1. Calculez v²/c² = 0,64.
- 2. Calculez √(1−0,64) = 0,60.
- 3. Prenez l'inverse.
γ ≈ 1,67 ; 1,0 année de bord couvre environ 1,67 année dans le référentiel terrestre choisi.
Essayez
Table du facteur de Lorentz
Matériel : Une calculatrice et un tableur ou du papier quadrillé.
- 1. Calculez γ à 0, 0,1c, 0,5c, 0,8c, 0,95c et 0,99c.
- 2. Tracez γ en fonction de v/c.
- 3. Repérez la région non linéaire.
- 4. Expliquez pourquoi aucun γ fini n'atteint c.
Observez : Les effets relativistes croissent brutalement près de c, et non linéairement avec la vitesse.
Vérifiez votre compréhension : La dilatation du temps signifie-t-elle que le mécanisme d'horloge d'un observateur est défectueux ?
Réponse : Non.
Chaque horloge locale marche normalement ; le temps écoulé dépend du trajet d'espace-temps entre les événements comparés.
Leçon 2 sur 3
Intervalles invariants et cônes de lumière
Quels événements peuvent s'influencer les uns les autres ?
L'intervalle combine séparation temporelle et spatiale en une grandeur sur laquelle tous les observateurs inertiels s'accordent. Des événements séparés par un intervalle de genre temps peuvent être reliés par un mouvement plus lent que la lumière ; ceux de genre lumière, par la lumière ; ceux de genre espace ne peuvent pas être liés causalement sans influence supraluminique.
Les observateurs peuvent être en désaccord sur l'ordre temporel d'événements de genre espace, mais ils s'accordent sur la classification causale.
Exemple résolu
Deux événements sont distants de 5 secondes-lumière dans l'espace et de 3 secondes dans le temps.
- 1. La lumière ne pourrait parcourir que 3 secondes-lumière en 3 secondes.
- 2. La séparation spatiale dépasse cΔt.
- 3. Classez l'intervalle comme de genre espace.
Aucun signal se propageant à c ou moins ne peut relier ces événements dans ce référentiel, et tous les observateurs inertiels s'accordent à les dire de genre espace.
Essayez
Dessiner une carte de cône de lumière
Matériel : Du papier quadrillé avec ct en vertical et x en horizontal.
- 1. Tracez des rayons lumineux à 45° depuis un événement.
- 2. Placez des exemples de genre temps, de genre lumière et de genre espace.
- 3. Tracez la ligne d'univers d'un observateur plus lent.
- 4. Vérifiez quels points peuvent recevoir un signal.
Observez : Le cône est une frontière causale, non une coque physique qui traverse l'espace.
Vérifiez votre compréhension : Deux observateurs inertiels peuvent-ils être en désaccord sur le fait que deux événements sont de genre espace ?
Réponse : Non.
La classification de l'intervalle est invariante, même quand les écarts de coordonnées changent.
Leçon 3 sur 3
Énergie et quantité de mouvement relativistes
Qu'est-ce qui remplace les formules classiques d'énergie cinétique près de la vitesse de la lumière ?
La quantité de mouvement relativiste p = γmv croît sans borne quand un objet massif approche c. L'énergie et la quantité de mouvement totales obéissent à E² = (pc)² + (mc²)².
La lumière a une masse au repos nulle mais une énergie et une quantité de mouvement non nulles. Une proposition d'espace-temps de distorsion change la géométrie plutôt que d'accélérer localement un engin au-delà de c.
Exemple résolu
Trouvez l'énergie totale d'un objet de 1 kg à 0,80c, en unités de son énergie de masse au repos.
- 1. Utilisez E = γmc².
- 2. À 0,80c, γ ≈ 1,67.
- 3. Divisez par mc².
L'énergie totale vaut environ 1,67 fois l'énergie de masse au repos ; l'énergie cinétique vaut environ 0,67mc².
Essayez
Comparaison classique-relativiste
Matériel : Une calculatrice ou un tableur.
- 1. Calculez ½mv² en classique et (γ−1)mc² en relativiste pour plusieurs valeurs de v/c.
- 2. Normalisez les deux par mc².
- 3. Tracez la différence.
- 4. Marquez l'endroit où l'erreur classique dépasse 1 %.
Observez : La mécanique classique est une excellente approximation à basse vitesse et échoue de plus en plus près de c.
Vérifiez votre compréhension : Pourquoi la lumière peut-elle transporter de la quantité de mouvement sans masse au repos ?
Réponse : Pour m = 0, la relation énergie-impulsion devient E = pc.
La masse au repos n'est pas requise pour avoir une quantité de mouvement relativiste.
De la formule au sens
Lisez l'équation en langage courant.
γ = 1/√(1−v²/c²)
Le facteur de Lorentz mesure le mélange relativiste à la vitesse v.
Unités : sans dimension
Δs² = c²Δt² − Δx²
L'intervalle d'espace-temps est invariant d'un référentiel inertiel à l'autre.
Unités : m²
E² = (pc)² + (mc²)²
Énergie, quantité de mouvement et masse au repos forment une seule relation relativiste.
Unités : J²
Pratique autonome
Série d'exercices
Travaillez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice et la solution.
1. Trouvez γ à 0,60c.
Voir l'indice
Calculez 1/√(1−0,36).
Voir la solution
γ = 1,25.
2. Un muon vit 2,2 μs en propre alors qu'il se déplace avec γ = 10. Quelle durée de vie mesure-t-on dans le référentiel du laboratoire ?
Voir l'indice
Δt = γΔτ.
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22 μs.
3. Un photon a une énergie de 3,0 eV. Exprimez sa quantité de mouvement de façon symbolique.
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Posez m = 0 dans la relation énergie-impulsion.
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p = E/c = 3,0 eV/c.
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Lecture suivante, avec ses sources
Cours 2 : La relativité restreinte
La séquence visuelle complète sur les événements, l'intervalle et les quadrivecteurs.
Cours 4 : La métrique d'Alcubierre
Sépare les limites de vitesse locales de la géométrie globale de l'espace-temps.
Chapitre 4 : Le tenseur métrique
Le pont entre l'espace-temps plat et les géométries de distorsion et de trous de ver.