Relatividade restrita sem atalhos
Use eventos, cones de luz, transformações de Lorentz e quadrivetores de forma quantitativa.
Vá além dos slogans até o intervalo invariante, a dilatação do tempo, a contração do comprimento, o momento relativístico e a estrutura causal.
Antes de começar
- • Curso de espaço-tempo do Nível 1
- • Mecânica
- • Álgebra e raízes quadradas
Ao final, você consegue
- • Calcular fatores de Lorentz e dilatação do tempo.
- • Usar o intervalo invariante para classificar a separação entre eventos.
- • Relacionar energia e momento de forma relativística.
- • Explicar por que o movimento local nunca ultrapassa c numa métrica de dobra.
Modelo interativo
Explore antes de calcular
Esta comparação mostra gravidade newtoniana, não relatividade restrita. As setas indicam direções de aceleração fora de massas esféricas; não são quadrivetores nem um desenho da métrica do espaço-tempo.
A gravidade não tem um «para baixo» universal
Imagine pequenos objetos de teste ao redor das massas. Cada seta mostra a direção em que a gravidade muda o movimento de um objeto, não a trajetória que ele segue.
Fora de uma massa esférica, a gravidade aponta para seu centro em todas as direções.
Todas as setas não nulas têm o mesmo comprimento em 3D: elas mostram apenas a direção. A intensidade aparece nos valores de cada ponto. Uma seta pode parecer mais curta quando aponta para seu ponto de vista ou para longe dele. As setas mais claras estão na metade mais distante da cena; isso não indica uma gravidade mais fraca.
Experimente: onde fica o baixo?
- Escolha uma massa. Preveja para onde apontam as setas do lado mais distante e gire a vista para conferir. Olhe de cima e de baixo: as setas continuam apontando para a massa?
- Escolha duas massas e gire a vista novamente. Cada seta agora combina as duas atrações; não precisa apontar para nenhum dos centros. A massa menor também contribui.
Girar a vista mudou a gravidade ou apenas sua maneira de vê-la?
Confira sua resposta
Só mudou seu ponto de vista. As massas e a atração em cada ponto continuaram iguais. Não existe um fundo embaixo de toda a cena.
Ponto selecionado · Unidades em escala para aprendizagem
x, y e z são coordenadas da cena, não um acima ou abaixo universal.
- Posição (x, y, z)
- 1,25; 0,02604; 0
- Aceleração (x, y, z)
- -2,559; -0,05333; 0
- Intensidade
- 2,56
Massas neste retrato
- A: Massa 4; Raio 0,64; Centro (0; 0; 0)
Valores de todos os pontos
| Ponto | Posição (x, y, z) | Aceleração (x, y, z) | Intensidade |
|---|---|---|---|
| 1 | 1,25; 0,02604; 0 | -2,559; -0,05333; 0 | 2,56 |
| 2 | -1,25; -0,02604; 0 | 2,559; 0,05333; 0 | 2,56 |
| 3 | -0,9199; 0,07813; 0,8427 | 1,884; -0,16; -1,726 | 2,56 |
| 4 | 0,9199; -0,07813; -0,8427 | -1,884; 0,16; 1,726 | 2,56 |
| 5 | 0,1087; 0,1302; -1,238 | -0,2226; -0,2667; 2,536 | 2,56 |
| 6 | -0,1087; -0,1302; 1,238 | 0,2226; 0,2667; -2,536 | 2,56 |
| 7 | 0,7524; 0,1823; 0,9814 | -1,541; -0,3733; -2,01 | 2,56 |
| 8 | -0,7524; -0,1823; -0,9814 | 1,541; 0,3733; 2,01 | 2,56 |
| 9 | -1,209; 0,2344; -0,2139 | 2,476; -0,48; 0,438 | 2,56 |
| 10 | 1,209; -0,2344; 0,2139 | -2,476; 0,48; -0,438 | 2,56 |
| 11 | 1,027; 0,2865; -0,6531 | -2,103; -0,5867; 1,337 | 2,56 |
| 12 | -1,027; -0,2865; 0,6531 | 2,103; 0,5867; -1,337 | 2,56 |
| 13 | -0,3124; 0,3385; 1,162 | 0,6397; -0,6933; -2,38 | 2,56 |
| 14 | 0,3124; -0,3385; -1,162 | -0,6397; 0,6933; 2,38 | 2,56 |
| 15 | -0,5473; 0,3906; -1,054 | 1,121; -0,8; 2,158 | 2,56 |
| 16 | 0,5473; -0,3906; 1,054 | -1,121; 0,8; -2,158 | 2,56 |
| 17 | 1,098; 0,4427; 0,401 | -2,249; -0,9067; -0,8213 | 2,56 |
| 18 | -1,098; -0,4427; -0,401 | 2,249; 0,9067; 0,8213 | 2,56 |
| 19 | -1,061; 0,4948; 0,438 | 2,173; -1,013; -0,897 | 2,56 |
| 20 | 1,061; -0,4948; -0,438 | -2,173; 1,013; 0,897 | 2,56 |
| 21 | 0,4764; 0,5469; -1,018 | -0,9757; -1,12; 2,085 | 2,56 |
| 22 | -0,4764; -0,5469; 1,018 | 0,9757; 1,12; -2,085 | 2,56 |
| 23 | 0,3284; 0,599; 1,047 | -0,6725; -1,227; -2,144 | 2,56 |
| 24 | -0,3284; -0,599; -1,047 | 0,6725; 1,227; 2,144 | 2,56 |
| 25 | -0,9232; 0,651; -0,535 | 1,891; -1,333; 1,096 | 2,56 |
| 26 | 0,9232; -0,651; 0,535 | -1,891; 1,333; -1,096 | 2,56 |
| 27 | 1,009; 0,7031; -0,2219 | -2,067; -1,44; 0,4545 | 2,56 |
| 28 | -1,009; -0,7031; 0,2219 | 2,067; 1,44; -0,4545 | 2,56 |
| 29 | -0,5729; 0,7552; 0,8148 | 1,173; -1,547; -1,669 | 2,56 |
| 30 | 0,5729; -0,7552; -0,8148 | -1,173; 1,547; 1,669 | 2,56 |
| 31 | -0,1226; 0,8073; -0,9464 | 0,2512; -1,653; 1,938 | 2,56 |
| 32 | 0,1226; -0,8073; 0,9464 | -0,2512; 1,653; -1,938 | 2,56 |
| 33 | 0,6941; 0,8594; 0,585 | -1,422; -1,76; -1,198 | 2,56 |
| 34 | -0,6941; -0,8594; -0,585 | 1,422; 1,76; 1,198 | 2,56 |
| 35 | -0,8547; 0,9115; 0,03534 | 1,75; -1,867; -0,07238 | 2,56 |
| 36 | 0,8547; -0,9115; -0,03534 | -1,75; 1,867; 0,07238 | 2,56 |
| 37 | 0,5644; 0,9635; -0,5617 | -1,156; -1,973; 1,15 | 2,56 |
| 38 | -0,5644; -0,9635; 0,5617 | 1,156; 1,973; -1,15 | 2,56 |
| 39 | -0,03366; 1,016; 0,7279 | 0,06894; -2,08; -1,491 | 2,56 |
| 40 | 0,03366; -1,016; -0,7279 | -0,06894; 2,08; 1,491 | 2,56 |
| 41 | -0,4165; 1,068; -0,4991 | 0,8529; -2,187; 1,022 | 2,56 |
| 42 | 0,4165; -1,068; 0,4991 | -0,8529; 2,187; -1,022 | 2,56 |
| 43 | 0,5505; 1,12; 0,07407 | -1,127; -2,293; -0,1517 | 2,56 |
| 44 | -0,5505; -1,12; -0,07407 | 1,127; 2,293; 0,1517 | 2,56 |
| 45 | -0,3571; 1,172; 0,2484 | 0,7313; -2,4; -0,5088 | 2,56 |
| 46 | 0,3571; -1,172; -0,2484 | -0,7313; 2,4; 0,5088 | 2,56 |
| 47 | 0,05571; 1,224; -0,2476 | -0,1141; -2,507; 0,5072 | 2,56 |
| 48 | -0,05571; -1,224; 0,2476 | 0,1141; 2,507; -0,5072 | 2,56 |
| 49 | 2,05; 0,04271; 0 | -0,9516; -0,01983; 0 | 0,9518 |
| 50 | -2,05; -0,04271; 0 | 0,9516; 0,01983; 0 | 0,9518 |
| 51 | -1,509; 0,1281; 1,382 | 0,7005; -0,05949; -0,6417 | 0,9518 |
| 52 | 1,509; -0,1281; -1,382 | -0,7005; 0,05949; 0,6417 | 0,9518 |
| 53 | 0,1782; 0,2135; -2,031 | -0,08276; -0,09915; 0,943 | 0,9518 |
| 54 | -0,1782; -0,2135; 2,031 | 0,08276; 0,09915; -0,943 | 0,9518 |
| 55 | 1,234; 0,299; 1,609 | -0,5729; -0,1388; -0,7473 | 0,9518 |
| 56 | -1,234; -0,299; -1,609 | 0,5729; 0,1388; 0,7473 | 0,9518 |
| 57 | -1,983; 0,3844; -0,3507 | 0,9206; -0,1785; 0,1628 | 0,9518 |
| 58 | 1,983; -0,3844; 0,3507 | -0,9206; 0,1785; -0,1628 | 0,9518 |
| 59 | 1,684; 0,4698; -1,071 | -0,7817; -0,2181; 0,4973 | 0,9518 |
| 60 | -1,684; -0,4698; 1,071 | 0,7817; 0,2181; -0,4973 | 0,9518 |
| 61 | -0,5123; 0,5552; 1,906 | 0,2379; -0,2578; -0,8848 | 0,9518 |
| 62 | 0,5123; -0,5552; -1,906 | -0,2379; 0,2578; 0,8848 | 0,9518 |
| 63 | -0,8975; 0,6406; -1,728 | 0,4167; -0,2974; 0,8024 | 0,9518 |
| 64 | 0,8975; -0,6406; 1,728 | -0,4167; 0,2974; -0,8024 | 0,9518 |
| 65 | 1,801; 0,726; 0,6576 | -0,8361; -0,3371; -0,3053 | 0,9518 |
| 66 | -1,801; -0,726; -0,6576 | 0,8361; 0,3371; 0,3053 | 0,9518 |
| 67 | -1,74; 0,8115; 0,7183 | 0,8079; -0,3768; -0,3335 | 0,9518 |
| 68 | 1,74; -0,8115; -0,7183 | -0,8079; 0,3768; 0,3335 | 0,9518 |
| 69 | 0,7813; 0,8969; -1,67 | -0,3628; -0,4164; 0,7752 | 0,9518 |
| 70 | -0,7813; -0,8969; 1,67 | 0,3628; 0,4164; -0,7752 | 0,9518 |
| 71 | 0,5385; 0,9823; 1,717 | -0,25; -0,4561; -0,7971 | 0,9518 |
| 72 | -0,5385; -0,9823; -1,717 | 0,25; 0,4561; 0,7971 | 0,9518 |
| 73 | -1,514; 1,068; -0,8775 | 0,703; -0,4957; 0,4074 | 0,9518 |
| 74 | 1,514; -1,068; 0,8775 | -0,703; 0,4957; -0,4074 | 0,9518 |
| 75 | 1,655; 1,153; -0,3639 | -0,7686; -0,5354; 0,169 | 0,9518 |
| 76 | -1,655; -1,153; 0,3639 | 0,7686; 0,5354; -0,169 | 0,9518 |
| 77 | -0,9395; 1,239; 1,336 | 0,4362; -0,5751; -0,6205 | 0,9518 |
| 78 | 0,9395; -1,239; -1,336 | -0,4362; 0,5751; 0,6205 | 0,9518 |
| 79 | -0,2011; 1,324; -1,552 | 0,09339; -0,6147; 0,7207 | 0,9518 |
| 80 | 0,2011; -1,324; 1,552 | -0,09339; 0,6147; -0,7207 | 0,9518 |
| 81 | 1,138; 1,409; 0,9594 | -0,5285; -0,6544; -0,4454 | 0,9518 |
| 82 | -1,138; -1,409; -0,9594 | 0,5285; 0,6544; 0,4454 | 0,9518 |
| 83 | -1,402; 1,495; 0,05796 | 0,6508; -0,694; -0,02691 | 0,9518 |
| 84 | 1,402; -1,495; -0,05796 | -0,6508; 0,694; 0,02691 | 0,9518 |
| 85 | 0,9257; 1,58; -0,9212 | -0,4298; -0,7337; 0,4277 | 0,9518 |
| 86 | -0,9257; -1,58; 0,9212 | 0,4298; 0,7337; -0,4277 | 0,9518 |
| 87 | -0,0552; 1,666; 1,194 | 0,02563; -0,7733; -0,5543 | 0,9518 |
| 88 | 0,0552; -1,666; -1,194 | -0,02563; 0,7733; 0,5543 | 0,9518 |
| 89 | -0,683; 1,751; -0,8185 | 0,3171; -0,813; 0,38 | 0,9518 |
| 90 | 0,683; -1,751; 0,8185 | -0,3171; 0,813; -0,38 | 0,9518 |
| 91 | 0,9029; 1,836; 0,1215 | -0,4192; -0,8527; -0,0564 | 0,9518 |
| 92 | -0,9029; -1,836; -0,1215 | 0,4192; 0,8527; 0,0564 | 0,9518 |
| 93 | -0,5856; 1,922; 0,4074 | 0,2719; -0,8923; -0,1892 | 0,9518 |
| 94 | 0,5856; -1,922; -0,4074 | -0,2719; 0,8923; 0,1892 | 0,9518 |
| 95 | 0,09136; 2,007; -0,4061 | -0,04242; -0,932; 0,1886 | 0,9518 |
| 96 | -0,09136; -2,007; 0,4061 | 0,04242; 0,932; -0,1886 | 0,9518 |
Este retrato newtoniano supõe que a massa de cada corpo se distribui da mesma forma em todas as direções a partir do centro. Ele mostra apenas o campo externo, não a curvatura do espaço-tempo. Os corpos ficam fixos; seu movimento não é simulado.
Lição 1 de 3
Fator de Lorentz e relógios em movimento
Quanto tempo próprio se acumula ao longo de caminhos inerciais diferentes?
O fator de Lorentz γ = 1/√(1−v²/c²) quantifica com que intensidade as coordenadas de espaço e de tempo se misturam. Em velocidades do dia a dia, γ é quase um.
O tempo próprio é o que um relógio registra ao longo do seu próprio caminho. Entre os mesmos eventos de partida e reencontro, caminhos diferentes podem acumular tempos próprios diferentes.
Exemplo resolvido
Uma nave se move a 0,80c. Encontre γ.
- 1. Calcule v²/c² = 0,64.
- 2. Calcule √(1−0,64) = 0,60.
- 3. Tome o inverso.
γ ≈ 1,67; 1,0 ano de nave abrange cerca de 1,67 ano no referencial terrestre escolhido.
Experimente
Tabela do fator de Lorentz
Materiais: Calculadora e planilha ou papel quadriculado.
- 1. Calcule γ em 0, 0,1c, 0,5c, 0,8c, 0,95c e 0,99c.
- 2. Trace γ versus v/c.
- 3. Identifique a região não linear.
- 4. Explique por que nenhum γ finito alcança c.
Repare: Os efeitos relativísticos crescem de forma acentuada perto de c, e não linearmente com a velocidade.
Verifique o que entendeu: A dilatação do tempo quer dizer que o mecanismo do relógio de um dos observadores está com defeito?
Resposta: Não.
Cada relógio local funciona normalmente; o tempo decorrido depende do caminho no espaço-tempo entre os eventos comparados.
Lição 2 de 3
Intervalos invariantes e cones de luz
Quais eventos podem influenciar uns aos outros?
O intervalo combina a separação temporal e a espacial numa grandeza sobre a qual todos os observadores inerciais concordam. Eventos separados de forma tipo-tempo podem ser ligados por movimento mais lento que a luz; eventos tipo-luz, pela luz; eventos tipo-espaço não podem ser ligados causalmente sem influência superluminal.
Observadores podem discordar sobre a ordem temporal de eventos tipo-espaço, mas concordam sobre a classificação causal.
Exemplo resolvido
Dois eventos estão a 5 segundos-luz de distância no espaço e a 3 segundos de distância no tempo.
- 1. A luz cruzaria apenas 3 segundos-luz em 3 segundos.
- 2. A separação espacial ultrapassa cΔt.
- 3. Classifique o intervalo como tipo-espaço.
Nenhum sinal viajando a c ou abaixo consegue ligar os eventos naquele referencial, e todos os observadores inerciais concordam que eles são tipo-espaço.
Experimente
Desenhe um mapa de cone de luz
Materiais: Papel quadriculado com ct na vertical e x na horizontal.
- 1. Desenhe raios de luz a 45° a partir de um evento.
- 2. Coloque exemplos tipo-tempo, tipo-luz e tipo-espaço.
- 3. Desenhe a linha de mundo de um observador mais lento.
- 4. Teste quais pontos podem receber um sinal.
Repare: O cone é uma fronteira causal, não uma casca física viajando pelo espaço.
Verifique o que entendeu: Dois observadores inerciais podem discordar sobre se dois eventos são tipo-espaço?
Resposta: Não.
A classificação do intervalo é invariante mesmo quando as diferenças de coordenada mudam.
Lição 3 de 3
Energia e momento relativísticos
O que substitui as fórmulas clássicas de energia cinética perto da velocidade da luz?
O momento relativístico p = γmv cresce sem limite conforme um objeto com massa se aproxima de c. A energia e o momento totais obedecem a E² = (pc)² + (mc²)².
A luz tem massa de repouso zero, mas energia e momento diferentes de zero. Uma proposta de espaço-tempo de dobra muda a geometria, em vez de acelerar uma nave local através de c.
Exemplo resolvido
Encontre a energia total de um objeto de 1 kg a 0,80c em unidades da sua energia de repouso.
- 1. Use E = γmc².
- 2. A 0,80c, γ ≈ 1,67.
- 3. Divida por mc².
A energia total é cerca de 1,67 vez a energia de repouso; a energia cinética é cerca de 0,67mc².
Experimente
Comparação entre clássico e relativístico
Materiais: Calculadora ou planilha.
- 1. Calcule o clássico ½mv² e o relativístico (γ−1)mc² para vários valores de v/c.
- 2. Normalize os dois por mc².
- 3. Trace a diferença.
- 4. Marque onde o erro clássico ultrapassa 1%.
Repare: A mecânica clássica é uma excelente aproximação em baixas velocidades e falha progressivamente perto de c.
Verifique o que entendeu: Por que a luz pode carregar momento sem massa de repouso?
Resposta: Para m = 0, a relação energia-momento se torna E = pc.
A massa de repouso não é necessária para o momento relativístico.
Da fórmula ao significado
Leia a equação em linguagem comum.
γ = 1/√(1−v²/c²)
O fator de Lorentz mede a mistura relativística na velocidade v.
Unidades: adimensional
Δs² = c²Δt² − Δx²
O intervalo do espaço-tempo é invariante entre referenciais inerciais.
Unidades: m²
E² = (pc)² + (mc²)²
Energia, momento e massa de repouso formam uma única relação relativística.
Unidades: J²
Prática independente
Lista de problemas
Resolva cada problema antes de abrir a dica e a solução.
1. Encontre γ a 0,60c.
Ver a dica
Calcule 1/√(1−0,36).
Ver a solução
γ = 1,25.
2. Um múon vive 2,2 μs no seu tempo próprio enquanto se move com γ = 10. Que tempo de vida é medido no referencial do laboratório?
Ver a dica
Δt = γΔτ.
Ver a solução
22 μs.
3. Um fóton tem energia de 3,0 eV. Expresse o momento dele de forma simbólica.
Ver a dica
Faça m = 0 na relação energia-momento.
Ver a solução
p = E/c = 3,0 eV/c.
Siga para a evidência
Próxima leitura, com as fontes
Aula 2: Relatividade restrita
A sequência visual completa de eventos, intervalos e quadrivetores.
Aula 4: A métrica de Alcubierre
Separa os limites locais de velocidade da geometria global do espaço-tempo.
Capítulo 4: O tensor métrico
A ponte do espaço-tempo plano para as geometrias de dobra e de buraco de minhoca.