Szczególna teoria względności bez skrótów
Używaj ilościowo zdarzeń, stożków świetlnych, transformacji Lorentza i czterowektorów.
Wyjdź poza hasła ku niezmienniczemu interwałowi, dylatacji czasu, skróceniu długości, pędowi relatywistycznemu i strukturze przyczynowej.
Zanim zaczniesz
- • Kurs o czasoprzestrzeni z poziomu 1
- • Mechanika
- • Algebra i pierwiastki kwadratowe
Na koniec będziesz umieć
- • Obliczać czynniki Lorentza i dylatację czasu.
- • Klasyfikować rozdzielenie zdarzeń za pomocą niezmienniczego interwału.
- • Wiązać relatywistycznie energię i pęd.
- • Wyjaśniać, dlaczego w metryce warp ruch lokalny nigdy nie przekracza c.
Model interaktywny
Zbadaj, zanim policzysz
To porównanie pokazuje grawitację newtonowską, a nie szczególną teorię względności. Strzałki oznaczają kierunki przyspieszenia na zewnątrz mas kulistych, nie czterowektory ani rysunek metryki czasoprzestrzeni.
Grawitacja nie ma uniwersalnego dołu
Wyobraź sobie małe obiekty próbne ze wszystkich stron mas. Każda strzałka pokazuje kierunek, w którym grawitacja zmienia ruch obiektu, a nie jego tor.
Na zewnątrz jednej masy kulistej grawitacja ze wszystkich stron jest skierowana ku jej środkowi.
Wszystkie niezerowe strzałki mają jednakową długość w 3D: pokazują tylko kierunek. Natężenie można odczytać z wartości w danym punkcie. Strzałka może wyglądać na krótszą, gdy jest skierowana w stronę obserwatora lub od niego. Jaśniejsze strzałki leżą w dalszej połowie sceny; nie oznaczają słabszej grawitacji.
Sprawdź: gdzie jest dół?
- Wybierz jedną masę. Przewidź, dokąd wskazują strzałki po jej dalszej stronie, a potem obróć widok i sprawdź. Spójrz z góry i z dołu: czy strzałki nadal wskazują w stronę masy?
- Wybierz dwie masy i znów obróć widok. Każda strzałka pokazuje teraz łączne przyciąganie obu mas; nie musi wskazywać środka żadnej z nich. Mniejsza masa też ma swój udział.
Czy obrót widoku zmienił grawitację, czy tylko sposób, w jaki ją widzisz?
Sprawdź odpowiedź
Zmienił się tylko twój punkt widzenia. Masy i przyciąganie w każdym punkcie pozostały takie same. Pod całą sceną nie ma żadnego wspólnego dołu.
Wybrany punkt · Jednostki przeskalowane do nauki
x, y i z to współrzędne sceny, a nie uniwersalna góra lub dół.
- Położenie (x, y, z)
- 1,25; 0,02604; 0
- Przyspieszenie (x, y, z)
- -2,559; -0,05333; 0
- Natężenie
- 2,56
Masy w tym obrazie
- A: Masa 4; Promień 0,64; Środek (0; 0; 0)
Wartości we wszystkich punktach
| Punkt | Położenie (x, y, z) | Przyspieszenie (x, y, z) | Natężenie |
|---|---|---|---|
| 1 | 1,25; 0,02604; 0 | -2,559; -0,05333; 0 | 2,56 |
| 2 | -1,25; -0,02604; 0 | 2,559; 0,05333; 0 | 2,56 |
| 3 | -0,9199; 0,07813; 0,8427 | 1,884; -0,16; -1,726 | 2,56 |
| 4 | 0,9199; -0,07813; -0,8427 | -1,884; 0,16; 1,726 | 2,56 |
| 5 | 0,1087; 0,1302; -1,238 | -0,2226; -0,2667; 2,536 | 2,56 |
| 6 | -0,1087; -0,1302; 1,238 | 0,2226; 0,2667; -2,536 | 2,56 |
| 7 | 0,7524; 0,1823; 0,9814 | -1,541; -0,3733; -2,01 | 2,56 |
| 8 | -0,7524; -0,1823; -0,9814 | 1,541; 0,3733; 2,01 | 2,56 |
| 9 | -1,209; 0,2344; -0,2139 | 2,476; -0,48; 0,438 | 2,56 |
| 10 | 1,209; -0,2344; 0,2139 | -2,476; 0,48; -0,438 | 2,56 |
| 11 | 1,027; 0,2865; -0,6531 | -2,103; -0,5867; 1,337 | 2,56 |
| 12 | -1,027; -0,2865; 0,6531 | 2,103; 0,5867; -1,337 | 2,56 |
| 13 | -0,3124; 0,3385; 1,162 | 0,6397; -0,6933; -2,38 | 2,56 |
| 14 | 0,3124; -0,3385; -1,162 | -0,6397; 0,6933; 2,38 | 2,56 |
| 15 | -0,5473; 0,3906; -1,054 | 1,121; -0,8; 2,158 | 2,56 |
| 16 | 0,5473; -0,3906; 1,054 | -1,121; 0,8; -2,158 | 2,56 |
| 17 | 1,098; 0,4427; 0,401 | -2,249; -0,9067; -0,8213 | 2,56 |
| 18 | -1,098; -0,4427; -0,401 | 2,249; 0,9067; 0,8213 | 2,56 |
| 19 | -1,061; 0,4948; 0,438 | 2,173; -1,013; -0,897 | 2,56 |
| 20 | 1,061; -0,4948; -0,438 | -2,173; 1,013; 0,897 | 2,56 |
| 21 | 0,4764; 0,5469; -1,018 | -0,9757; -1,12; 2,085 | 2,56 |
| 22 | -0,4764; -0,5469; 1,018 | 0,9757; 1,12; -2,085 | 2,56 |
| 23 | 0,3284; 0,599; 1,047 | -0,6725; -1,227; -2,144 | 2,56 |
| 24 | -0,3284; -0,599; -1,047 | 0,6725; 1,227; 2,144 | 2,56 |
| 25 | -0,9232; 0,651; -0,535 | 1,891; -1,333; 1,096 | 2,56 |
| 26 | 0,9232; -0,651; 0,535 | -1,891; 1,333; -1,096 | 2,56 |
| 27 | 1,009; 0,7031; -0,2219 | -2,067; -1,44; 0,4545 | 2,56 |
| 28 | -1,009; -0,7031; 0,2219 | 2,067; 1,44; -0,4545 | 2,56 |
| 29 | -0,5729; 0,7552; 0,8148 | 1,173; -1,547; -1,669 | 2,56 |
| 30 | 0,5729; -0,7552; -0,8148 | -1,173; 1,547; 1,669 | 2,56 |
| 31 | -0,1226; 0,8073; -0,9464 | 0,2512; -1,653; 1,938 | 2,56 |
| 32 | 0,1226; -0,8073; 0,9464 | -0,2512; 1,653; -1,938 | 2,56 |
| 33 | 0,6941; 0,8594; 0,585 | -1,422; -1,76; -1,198 | 2,56 |
| 34 | -0,6941; -0,8594; -0,585 | 1,422; 1,76; 1,198 | 2,56 |
| 35 | -0,8547; 0,9115; 0,03534 | 1,75; -1,867; -0,07238 | 2,56 |
| 36 | 0,8547; -0,9115; -0,03534 | -1,75; 1,867; 0,07238 | 2,56 |
| 37 | 0,5644; 0,9635; -0,5617 | -1,156; -1,973; 1,15 | 2,56 |
| 38 | -0,5644; -0,9635; 0,5617 | 1,156; 1,973; -1,15 | 2,56 |
| 39 | -0,03366; 1,016; 0,7279 | 0,06894; -2,08; -1,491 | 2,56 |
| 40 | 0,03366; -1,016; -0,7279 | -0,06894; 2,08; 1,491 | 2,56 |
| 41 | -0,4165; 1,068; -0,4991 | 0,8529; -2,187; 1,022 | 2,56 |
| 42 | 0,4165; -1,068; 0,4991 | -0,8529; 2,187; -1,022 | 2,56 |
| 43 | 0,5505; 1,12; 0,07407 | -1,127; -2,293; -0,1517 | 2,56 |
| 44 | -0,5505; -1,12; -0,07407 | 1,127; 2,293; 0,1517 | 2,56 |
| 45 | -0,3571; 1,172; 0,2484 | 0,7313; -2,4; -0,5088 | 2,56 |
| 46 | 0,3571; -1,172; -0,2484 | -0,7313; 2,4; 0,5088 | 2,56 |
| 47 | 0,05571; 1,224; -0,2476 | -0,1141; -2,507; 0,5072 | 2,56 |
| 48 | -0,05571; -1,224; 0,2476 | 0,1141; 2,507; -0,5072 | 2,56 |
| 49 | 2,05; 0,04271; 0 | -0,9516; -0,01983; 0 | 0,9518 |
| 50 | -2,05; -0,04271; 0 | 0,9516; 0,01983; 0 | 0,9518 |
| 51 | -1,509; 0,1281; 1,382 | 0,7005; -0,05949; -0,6417 | 0,9518 |
| 52 | 1,509; -0,1281; -1,382 | -0,7005; 0,05949; 0,6417 | 0,9518 |
| 53 | 0,1782; 0,2135; -2,031 | -0,08276; -0,09915; 0,943 | 0,9518 |
| 54 | -0,1782; -0,2135; 2,031 | 0,08276; 0,09915; -0,943 | 0,9518 |
| 55 | 1,234; 0,299; 1,609 | -0,5729; -0,1388; -0,7473 | 0,9518 |
| 56 | -1,234; -0,299; -1,609 | 0,5729; 0,1388; 0,7473 | 0,9518 |
| 57 | -1,983; 0,3844; -0,3507 | 0,9206; -0,1785; 0,1628 | 0,9518 |
| 58 | 1,983; -0,3844; 0,3507 | -0,9206; 0,1785; -0,1628 | 0,9518 |
| 59 | 1,684; 0,4698; -1,071 | -0,7817; -0,2181; 0,4973 | 0,9518 |
| 60 | -1,684; -0,4698; 1,071 | 0,7817; 0,2181; -0,4973 | 0,9518 |
| 61 | -0,5123; 0,5552; 1,906 | 0,2379; -0,2578; -0,8848 | 0,9518 |
| 62 | 0,5123; -0,5552; -1,906 | -0,2379; 0,2578; 0,8848 | 0,9518 |
| 63 | -0,8975; 0,6406; -1,728 | 0,4167; -0,2974; 0,8024 | 0,9518 |
| 64 | 0,8975; -0,6406; 1,728 | -0,4167; 0,2974; -0,8024 | 0,9518 |
| 65 | 1,801; 0,726; 0,6576 | -0,8361; -0,3371; -0,3053 | 0,9518 |
| 66 | -1,801; -0,726; -0,6576 | 0,8361; 0,3371; 0,3053 | 0,9518 |
| 67 | -1,74; 0,8115; 0,7183 | 0,8079; -0,3768; -0,3335 | 0,9518 |
| 68 | 1,74; -0,8115; -0,7183 | -0,8079; 0,3768; 0,3335 | 0,9518 |
| 69 | 0,7813; 0,8969; -1,67 | -0,3628; -0,4164; 0,7752 | 0,9518 |
| 70 | -0,7813; -0,8969; 1,67 | 0,3628; 0,4164; -0,7752 | 0,9518 |
| 71 | 0,5385; 0,9823; 1,717 | -0,25; -0,4561; -0,7971 | 0,9518 |
| 72 | -0,5385; -0,9823; -1,717 | 0,25; 0,4561; 0,7971 | 0,9518 |
| 73 | -1,514; 1,068; -0,8775 | 0,703; -0,4957; 0,4074 | 0,9518 |
| 74 | 1,514; -1,068; 0,8775 | -0,703; 0,4957; -0,4074 | 0,9518 |
| 75 | 1,655; 1,153; -0,3639 | -0,7686; -0,5354; 0,169 | 0,9518 |
| 76 | -1,655; -1,153; 0,3639 | 0,7686; 0,5354; -0,169 | 0,9518 |
| 77 | -0,9395; 1,239; 1,336 | 0,4362; -0,5751; -0,6205 | 0,9518 |
| 78 | 0,9395; -1,239; -1,336 | -0,4362; 0,5751; 0,6205 | 0,9518 |
| 79 | -0,2011; 1,324; -1,552 | 0,09339; -0,6147; 0,7207 | 0,9518 |
| 80 | 0,2011; -1,324; 1,552 | -0,09339; 0,6147; -0,7207 | 0,9518 |
| 81 | 1,138; 1,409; 0,9594 | -0,5285; -0,6544; -0,4454 | 0,9518 |
| 82 | -1,138; -1,409; -0,9594 | 0,5285; 0,6544; 0,4454 | 0,9518 |
| 83 | -1,402; 1,495; 0,05796 | 0,6508; -0,694; -0,02691 | 0,9518 |
| 84 | 1,402; -1,495; -0,05796 | -0,6508; 0,694; 0,02691 | 0,9518 |
| 85 | 0,9257; 1,58; -0,9212 | -0,4298; -0,7337; 0,4277 | 0,9518 |
| 86 | -0,9257; -1,58; 0,9212 | 0,4298; 0,7337; -0,4277 | 0,9518 |
| 87 | -0,0552; 1,666; 1,194 | 0,02563; -0,7733; -0,5543 | 0,9518 |
| 88 | 0,0552; -1,666; -1,194 | -0,02563; 0,7733; 0,5543 | 0,9518 |
| 89 | -0,683; 1,751; -0,8185 | 0,3171; -0,813; 0,38 | 0,9518 |
| 90 | 0,683; -1,751; 0,8185 | -0,3171; 0,813; -0,38 | 0,9518 |
| 91 | 0,9029; 1,836; 0,1215 | -0,4192; -0,8527; -0,0564 | 0,9518 |
| 92 | -0,9029; -1,836; -0,1215 | 0,4192; 0,8527; 0,0564 | 0,9518 |
| 93 | -0,5856; 1,922; 0,4074 | 0,2719; -0,8923; -0,1892 | 0,9518 |
| 94 | 0,5856; -1,922; -0,4074 | -0,2719; 0,8923; 0,1892 | 0,9518 |
| 95 | 0,09136; 2,007; -0,4061 | -0,04242; -0,932; 0,1886 | 0,9518 |
| 96 | -0,09136; -2,007; 0,4061 | 0,04242; 0,932; -0,1886 | 0,9518 |
Ten newtonowski obraz chwili zakłada, że masa każdego ciała jest rozmieszczona tak samo we wszystkich kierunkach od jego środka. Pokazuje tylko pole na zewnątrz, a nie krzywiznę czasoprzestrzeni. Ciała pozostają nieruchome; ich ruch nie jest symulowany.
Interaktywne laboratorium, zestaw dydaktyczny i narzędzia oceny do tego kursu są po angielsku →
Lekcja 1 z 3
Czynnik Lorentza i poruszające się zegary
Ile czasu własnego narasta wzdłuż różnych torów inercjalnych?
Czynnik Lorentza γ = 1/√(1−v²/c²) mówi, jak silnie mieszają się współrzędne przestrzenne i czasowe. Przy codziennych prędkościach γ jest niemal równe jedności.
Czas własny to czas, który zegar odmierza wzdłuż swojego toru. Między tym samym rozstaniem a spotkaniem różne tory mogą odmierzyć różne czasy własne.
Przykład rozwiązany
Statek kosmiczny porusza się z prędkością 0,80c. Znajdź γ.
- 1. Oblicz v²/c² = 0.64.
- 2. Oblicz √(1−0.64) = 0.60.
- 3. Weź odwrotność.
γ ≈ 1,67; 1,0 roku na statku obejmuje około 1,67 roku w wybranym układzie Ziemi.
Spróbuj
Tabela czynnika Lorentza
Materiały: Kalkulator oraz arkusz kalkulacyjny albo papier w kratkę.
- 1. Oblicz γ dla 0, 0,1c, 0,5c, 0,8c, 0,95c i 0,99c.
- 2. Narysuj wykres γ w funkcji v/c.
- 3. Wskaż obszar nieliniowy.
- 4. Wyjaśnij, dlaczego żadne skończone γ nie sięga c.
Zwróć uwagę: Efekty relatywistyczne rosną gwałtownie w pobliżu c, a nie liniowo z prędkością.
Sprawdź, czy rozumiesz: Czy dylatacja czasu oznacza, że mechanizm zegara jednego z obserwatorów jest wadliwy?
Odpowiedź: Nie.
Każdy lokalny zegar chodzi normalnie; upływ czasu zależy od toru w czasoprzestrzeni między porównywanymi zdarzeniami.
Lekcja 2 z 3
Niezmiennicze interwały i stożki świetlne
Które zdarzenia mogą na siebie wpływać?
Interwał łączy rozdzielenie czasowe i przestrzenne w wielkość, co do której zgadzają się wszyscy obserwatorzy inercjalni. Zdarzenia rozdzielone czasowo można połączyć ruchem wolniejszym od światła; zdarzenia rozdzielone świetlnie — światłem; zdarzeń rozdzielonych przestrzennie nie da się powiązać przyczynowo bez oddziaływania nadświetlnego.
Obserwatorzy mogą się różnić co do kolejności czasowej zdarzeń rozdzielonych przestrzennie, ale zgadzają się co do ich klasyfikacji przyczynowej.
Przykład rozwiązany
Dwa zdarzenia dzieli 5 sekund świetlnych w przestrzeni i 3 sekundy w czasie.
- 1. Światło pokonałoby w 3 sekundy tylko 3 sekundy świetlne.
- 2. Rozdzielenie przestrzenne przekracza cΔt.
- 3. Zaklasyfikuj interwał jako przestrzennopodobny.
Żaden sygnał biegnący z prędkością c lub mniejszą nie połączy tych zdarzeń w tym układzie, a wszyscy obserwatorzy inercjalni zgadzają się, że są przestrzennopodobne.
Spróbuj
Narysuj mapę stożka świetlnego
Materiały: Papier w kratkę z ct na pionowej i x na poziomej osi.
- 1. Narysuj promienie świetlne pod kątem 45° wychodzące ze zdarzenia.
- 2. Umieść przykłady rozdzieleń czasopodobnych, świetlnopodobnych i przestrzennopodobnych.
- 3. Narysuj linię świata wolniejszego obserwatora.
- 4. Sprawdź, które punkty mogą odebrać sygnał.
Zwróć uwagę: Stożek jest granicą przyczynową, a nie fizyczną powłoką biegnącą przez przestrzeń.
Sprawdź, czy rozumiesz: Czy dwaj obserwatorzy inercjalni mogą się różnić co do tego, czy dwa zdarzenia są przestrzennopodobne?
Odpowiedź: Nie.
Klasyfikacja interwału jest niezmiennicza, nawet gdy różnice współrzędnych się zmieniają.
Lekcja 3 z 3
Relatywistyczna energia i pęd
Co zastępuje klasyczne wzory na energię kinetyczną przy prędkościach bliskich prędkości światła?
Pęd relatywistyczny p = γmv rośnie nieograniczenie, gdy ciało masywne zbliża się do c. Energia całkowita i pęd spełniają E² = (pc)² + (mc²)².
Światło ma zerową masę spoczynkową, lecz niezerową energię i pęd. Propozycja czasoprzestrzeni warp zmienia geometrię, zamiast rozpędzać lokalnie statek ponad c.
Przykład rozwiązany
Znajdź energię całkowitą ciała o masie 1 kg przy 0,80c, wyrażoną w jednostkach jego energii spoczynkowej.
- 1. Skorzystaj z E = γmc².
- 2. Przy 0,80c mamy γ ≈ 1,67.
- 3. Podziel przez mc².
Energia całkowita to około 1,67 energii spoczynkowej; energia kinetyczna to około 0,67mc².
Spróbuj
Porównanie klasyczne kontra relatywistyczne
Materiały: Kalkulator albo arkusz kalkulacyjny.
- 1. Oblicz klasyczne ½mv² i relatywistyczne (γ−1)mc² dla kilku wartości v/c.
- 2. Znormalizuj obie wielkości przez mc².
- 3. Narysuj wykres różnicy.
- 4. Zaznacz, gdzie błąd klasyczny przekracza 1%.
Zwróć uwagę: Mechanika klasyczna jest znakomitym przybliżeniem przy małych prędkościach i stopniowo zawodzi w pobliżu c.
Sprawdź, czy rozumiesz: Dlaczego światło może nieść pęd bez masy spoczynkowej?
Odpowiedź: Dla m = 0 związek energii z pędem przyjmuje postać E = pc.
Masa spoczynkowa nie jest potrzebna do istnienia pędu relatywistycznego.
Od wzoru do znaczenia
Przeczytaj równanie zwykłym językiem.
γ = 1/√(1−v²/c²)
Czynnik Lorentza mierzy relatywistyczne mieszanie przy prędkości v.
Jednostki: bezwymiarowe
Δs² = c²Δt² − Δx²
Interwał czasoprzestrzenny jest niezmienniczy między układami inercjalnymi.
Jednostki: m²
E² = (pc)² + (mc²)²
Energia, pęd i masa spoczynkowa tworzą jeden związek relatywistyczny.
Jednostki: J²
Praktyka samodzielna
Zestaw zadań
Rozwiąż każde zadanie, zanim otworzysz podpowiedź i rozwiązanie.
1. Znajdź γ przy 0,60c.
Pokaż podpowiedź
Oblicz 1/√(1−0.36).
Pokaż rozwiązanie
γ = 1,25.
2. Mion przeżywa 2,2 μs, poruszając się z γ = 10. Jaki czas życia zmierzono w układzie laboratorium?
Pokaż podpowiedź
Δt = γΔτ.
Pokaż rozwiązanie
22 μs.
3. Foton ma energię 3,0 eV. Zapisz jego pęd symbolicznie.
Pokaż podpowiedź
Podstaw m = 0 w związku energii z pędem.
Pokaż rozwiązanie
p = E/c = 3.0 eV/c.
Idź dalej, do dowodów
Następna lektura, z jej źródłami
Wykład 2: Szczególna teoria względności
Pełna wizualna sekwencja o zdarzeniach, interwałach i czterowektorach.
Wykład 4: Metryka Alcubierre’a
Oddziela lokalne ograniczenia prędkości od globalnej geometrii czasoprzestrzeni.
Rozdział 4: Tensor metryczny
Pomost od płaskiej czasoprzestrzeni do geometrii warp i tuneli czasoprzestrzennych.